Minden határérték ekvivalensen helyettesíthető infinitezimális dx egységekkel?
Vegyük mondjuk egyváltozós, valós függvényeknek a hátértékét a végtelenben: lim h->végtelen f(h). Az állítom, hogy ez ekvivalens (minden f függvényre egyenlő) azzal, hogy f(1/dx), ahol dx a Newton-Leibniz-féle infinitezimálisan kicsi egység, amit a deriváltaknál és integráloknál is használunk. De tényleg ekvivalens és megoldható lenne minden limeszes határértékek nélkül?
Onnan jött az ihlet, hogy a deriváltfüggvény konkrétan így van definiálva, de az is csak egy határérték (ill. -függvény).
válasza:Csak elméletben kérdezem:
1./ Mit csinálsz azokkal a függvényekkel amiknek nincs a végtelenben határértékük (ezek között csak érdekességként van olyan ami deriválható minden pontban, de mégsincs a végtelenben határértéke).
2./ Helytelen a felvetésed, mert mert a dx sosem 0 az 1/dx így sosem lesz végtelen. Ebből úgy lehetne "végtelent" csinálni, hogy lim(1/dx) dx->0 /nem tudom a lim alá írni, hogy dx->0-hoz/.
#1-es, az első pontodat válasszuk ketté: deriválni akarunk egy függvényt vagy végtelenben venni a határértékét? Én az utóbbiról beszéltem. De megválaszolom: deriválni lehet klasszikus végtelenben vett határtékszámítás révén is, de fordítva nem feltétlen: végtelenben venni egy függvény határtékét nem biztos, hogy segít ha csak deriválni tudok.
A második pontod egy évszázados, koncepcionális kérdés. Én személy szerint nem is szeretem véges pontokban (pl. 0-ban) venni a határértékeket, mert sokkal macerásabb, mint végtelenben venni, és ahhoz nem kell sokat alakítani a függvény paraméterén. Nem szeretnék állást foglalni a nonsztenderd analízisről, de egyezzünk meg abban, hogy ez a dx, ugyanaz, mint ami a deriválásnál is van, és persze fel tudok vele szorozni, le tudok osztani, ki tudom integrálni, stb.
válasza:Az 1-esnél csak példának írtam kb. ua. mint Te. Én azt írtam, hogy nem minden függvénynek van végtelenben határértéke. És ezt bővítettem azzal, hogy ez független attól, hogy minden pontban deriválható a függvény. Tehát nem lesz minden f függvényre általánosan felírható amit akarsz, mert egy rakás függvénynél nincs a végtelenben határérték.
A 2-es igen, ez egy vita, hogy mit, hogyan jelölünk. "Én személy szerint nem is szeretem véges pontokban (pl. 0-ban) venni a határértékeket" -> A dolog itt megint bukik, mert ez nem "szeretem-nem szeretem kérdés". És ha véges pontokon (pl. 0) nem szereted a határértéket venni, hogyan fogod tudni egy függvényről, hogy az az adat pontban folytonos vagy sem? /ez megint egy kis mellék szál mert a kérdéshez nincs köze, csak a Te kicsavart gondolkodásodhoz/.
#3 a "dx" egy szimbúlum, és a dx-el szorzás is egy "szimbolikus" művelet. Egyszerűsítése egy egészen bonyolult dolog leírásának. Tehát dx-el nem "klasszikus" szorzást csinálunk. Nem úgy viselkedik, mitn egy "szám" (bár nálad tudjuk, hogy a számfogalom is kicsit el van tévedve, ismerünk már).
válasza:"Vegyük mondjuk egyváltozós, valós függvényeknek a hátértékét a végtelenben: lim h->végtelen f(h). Az állítom, hogy ez ekvivalens (minden f függvényre egyenlő) azzal, hogy f(1/dx), ahol dx a Newton-Leibniz-féle infinitezimálisan kicsi egység, amit a deriváltaknál és integráloknál is használunk. "
Lehet, hogy én tudom rosszul, de szerintem marhára nem ugyanaz a kettő. Egy függvény deriválásának nagyjából semmi köze nincs annak végtelenbe vett határértékéhez. Valóban a derivált definíciójában is van határérték, de nem a függvény végtelenben vett határértéke, hanem a függvény értékének, illetve változójának változásának 0-hoz tartó határértéke. (Utóbbit jelölik dx-el.)
De javítsatok ki, ha tévedek.
#3-as, persze hogy független a kettő. De akkor még egyszer és konkrét példákkal.
Egy függvény deriváltja definiálható a következőképpen:
f'(x) = lim h->0 (f(x)-f(x+h))/h
df(x) / dx = (f(x)-f(x+dx))/dx
A kettő belátható, hogy ugyanaz, és ez nem csak egy véletlen egyenlőség, ez a df és dx infinitezimálisok definíciójából fakad - bármi is az. Amit a legvégén írsz, azzal nem tudok egyetérteni: állítom, hogy dx, dy, df, stb. kifejezésekkel ugyanúgy tudsz szorozni és osztani, mint bármilyen változóval. A baj ott kezdődik, amikor az ember egyáltalán nem tudja mik ezek, és azt hiszi, hogy például a d és x között szorzás van, és megpróbál d-vel egyszerűsíteni, ami butaság, ha minősíthetem így. Anélkül, hogy most oldalakon definiálnám a df és dx jelentését (nekem se sikerülne elsőre), elégedjünk meg azzal, hogy ha betartjuk a már eleve ismert és működő bővítési és egyszerűsítési szabályokat, akkor a végeredmény is stimmelni fog.
Én a kérdésben határértékekről beszélek, ez egy általános valami, aminek egy részterülete a deriváltképzés. Persze, hogy van olyan függvény, aminek van határértéke a végtelenben, de nem differenciálható, és fordítva, ill. van, aminek nincs határértéke, akár differenciálható, akár nem. Ebben egyetértünk.
Ami visszatetsző lehet, az az a rafinéria, amikor minden határértéket át akarok alakítani végtelenben vett határtékre. De megteszem:
lim h->a+ f(h) = lim h->végtelen f(a+1/h)
lim h->a- f(h) = lim h->végtelen f(a-1/h)
Itt h tart egy véges a értékhez pozitív ill. negatív oldalról.
És a kulcsfontosságú állítás:
lim h->végtelen f(h) = f(1/dx)
Ha eddig megvan, akkor innentől fogadjuk el, hogy a dx meg úgy működik, ahogy eddig.
Lehet írni nekem bármilyen példát, és kiderül, hogy arra is működik-e a teóriám. De az elmélet is fontos lenne mögötte.
válasza:@sadam87, amit írsz, igaz; bocsánat, ha félreérthető voltam. Hátha szemléltetéssel érthetőbb mire gondoltam:
f'(x) = lim h->végtelen (f(x)-f(x+1/h))*h
Ez ekvivalens a fenti két definícióval is, de mondd, ha szerinted nem.
#6-os, igen, erre gondoltam.
És az lenne az értelme, hogy nem "kellene" többé határérték, csak dx.
válasza:Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!