Hogyan bizonyítható a következő állítás?

Az állítás helytálló. Mivel az állítás két irányú, először azt fogjuk bizonyítani, hogy ha m^log_n(x) egy egész szám, akkor m n-nek a hatványa. Az utóbbi irányú bizonyításhoz használjuk a logaritmusok tulajdonságait:

Feltehetjük, hogy m > 1, mivel az állítás triviális, ha m = 1.

Tegyük fel, hogy m^log_n(x) egy egész szám. Ezért m^log_n(x) = k, ahol k egy pozitív egész szám.

A definíció szerint a logaritmus (bármilyen alapú) azt mutatja meg, hogy milyen hatványon kell emelni az alapot, hogy megkapjuk az adott számot. Tehát, mert m^log_n(x) = k, azt jelenti, hogy n^k = x.

Az n^k = x egyenletből láthatjuk, hogy m^log_n(x) = k, és n^k = x, így m = n és k összefüggésben vannak.

Tehát, ha m^log_n(x) egy egész szám, akkor m n-nek a hatványa.

Most bizonyítjuk azt, hogy ha m n-nek a hatványa, akkor m^log_n(x) egy egész szám. A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmusok tulajdonságait is:

Tegyük fel, hogy m = n^k, ahol k egy pozitív egész szám.

Most vizsgáljuk meg m^log_n(x) kifejezést. A definíció alapján logaritmus módosítása m^n = x formában a következő: log_n(x) = n^k.

Tehát, m^log_n(x) = m^log_n(n^k).

Használjuk a logaritmusok tulajdonságát: m^log_n(n^k) = m^(k * log_n(n)).

Mivel log_n(n) = 1 (bármely szám logaritmusa saját alapján 1), ezért m^(k * log_n(n)) = m^k.

Tudjuk, hogy m = n^k (második lépésben), így m^k = (n^k)^k = n^(k * k).

Tehát m^k = n^(k * k) egy egész szám, mivel k pozitív egész szám.

Így azt mondhatjuk, hogy ha m n-nek a hatványa, akkor m^log_n(x) egy egész szám, és fordítva. Ez bizonyítja az állítást.

Sehogy, ugyanis az 1-es is adott rá ellenpéldát.

Nem az az állítás inkább, hogy ha m n-nek NEMNEGATÍV EGÉSZ hatványa, akkor egészet kapunk?

Az ugyanis igaz, bizonyítás:

Legyen k >= 1,egész úgy, hogy n^k = m. (k=0 eset triviális)

Ekkor m^log n (x) = (n^k)^log n (x) = (n^log n (x))^k = x^k.

Mivel x egész, k pozitív egész, így az eredmény is egész.

Az állítás, hogy "m^log_n(x)" csak akkor ad egész számot, ha "m" az "n" hatványa, nem helyes. Az állítás nem bizonyítható, mert nem igaz.

Itt egy ellenpélda: Vegyük az egész számokat "m = 2" és "n = 3" esetén. Most, ha "x = 9" (ami egy egész szám), akkor "2^log_3(9) = 2^2 = 4" is egy egész szám. Az "m" nem "n" hatványa, de az eredmény mégis egy egész szám.

Tehát a feltételezés nem helyes, és nem bizonyítható, mert az ellenpélda bizonyítja, hogy van olyan eset, amikor "m" nem "n" hatványa, mégis "m^log_n(x)" egy egész szám. Az állítás általánosságban nem igaz.