Miért igazak a következő állítások? Hogyan bizonyíthatók? (matek)

c | 2a + 5b , c | 3a + 7b

—> c | 3a + 7b -( 2a + 5b) = a + 2b

—> c | 3*(a + 2b) = 3a + 6b

—> c| 3a + 7b -( 3a + 6b) = b , c | b —-> c | a.

c | a , d | b

—> cx= a és dy=b —> cxdy=ab —> (xy)dc= ab. Készen vagyunk, dc | ab

Az első feladatnál csak azt kell kihasználni, hogy ha x|y és x|z, akkor x|(y+z) és x|(y-z), vagyis ha van két számod, melyek ugyanazzal a számmal oszthatóak, akkor az összegük és a különbségük is osztható lesz. Ha ezt tudjuk, akkor csak annyi a trükk, hogy úgy adjuk össze a kifejezéseket, hogy valamelyik ismeretlen kiessen.

A másodiknál úgy is lehet bizonyítani (ami bizonyos szempontból nem elegáns, de attól még teljes értékű bizonyítás), hogy felírod törtként, tehát azt kell belátni, hogy (ab)/(cd) egész. A törteknél tanultak szerint a tört átírható (a/c)*(b/d) alakra. Mivel c|a, ezért a/c egész, hasonló okokból b/d is egész, egész számok szorzata pedig nyilván egész, tehát készen vagyunk. Ez az eljárás azonban egy esetet alapvetően kizár; hogyha c=0 ésvagy d=0. Szerencsére a 0 csak a 0-nak lehet osztója, tehát ha c=0, akkor a=0, d és b értékétől függetlenül 0|0 adódik, ami igaz. Ha pedig d=0 akkor b=0, és a vége ott is 0|0 lesz.

Például: (2a+5b) + (2a+5b) + (2a+5b) - (3a+7b) - (3a+7b) = b. Mivel b-hez úgy jutottunk, hogy csupa olyan számot adtunk össze/vontunk ki, melyek oszthatóak c-vel, ezért az eredmény is osztható kell, hogy legyen c-vel (a fentiek értelmében), tehát c|b. Hasonlóan megoldható ugyanez az a-ra is.

A harmadiknál hasonló a történet, annyi kiegészítéssel, hogy ha x|y, akkor x|(c*y), vagyis ha egy szám osztható egy másik számmal, akkor a másik szám egész számú többszörösei is oszthatóak lesznek.

Esetünkben szorozzuk meg az első kifejezést 3-mal, a másodikat 5-tel, ekkor 15a+27b és 15a+50b keletkezik. A feltevés szerint mindkettő osztható 23-mal, így különbségeik is osztható 23-mal, amire 23b adódik (vagy -23b, ha fordítva vonunk ki), tehát azt kellene belátni, hogy 23|23*b, ez pedig a fentiek ismeretében triviális.

Nem tudom, de szerintem a 3. feladatban, a 23 | 3a + 10b -ét nem szabad felhasználni, mert az az állítás, és akkor a feladat értelmetlen lenne, ha felhasználod. Tehát:

23 | 5a + 9b

—> 23 | 46 a +69 b - a + 12b ( szorzás 9, és alakítás)

—> 23 | 23(2a + 3b) -a +12b —> 23 | -a + 12b

—> 23 | -2a + 24b , ebből 23 | 5a + 9b +(-2a + 24b) =3(a + 11b)

Mivel 23 prim, és lnko(23,3)=1, ezért 23 | a + 11b

Innen 23 | 5a + 11b + a + 11b = 2(3a + 10b), és lnko(23,2)=1 ezért 23 | 3a + 10b

Fel lehet használni, csak egy kulcsfontosságú rész kimaradt; azzal csak azt láttam be, hogy a 15a+50b osztható 23-mal, azt nem hogy a kérdéses kifejezés is. Ehhez az kell, hogy kiemeljünk 5-öt; 5*(3a+10b). Tudjuk azt, hogy ha

x|y*z és x|/y (x nem osztója y-nak), akkor x|z. Mivel a 23 nem osztója az 5-nek, ezért kizárásos alapon csak a másik osztható vele.

Egyébként pedig köszönöm a lepontozást...