A matematika hogy siklhat el ilyen egyszerűen a végtelen problémája felett?

"De hogy a végtelenediktől is?"

Szerinted a végtelen egy konkrét szám? Lehet, hogy itt a hiba a fejtegetésedben...

Amit a kérdező összekever a fejtegetésében, hogy mintha konkrét szám lenne a végtelen úgy próbálja kezelni.

A berakosgatást az általa említett gyufásskatulyákba is olyan módon kezeli az okfejtés szintjén mintha egy véges lépésből álló folyamat lenne.

Ha ebben a bizonyos berakosgatásban megszámlálhatóan végtelen sok elemet veszünk, akkor minden berakásra kerülő elem sorra kerül véges sok lépésen belül, méghozzá konkrétan mindegyiknek van egy sorszáma, ami egy természetes szám. Ettől még nem igaz, hogy az egész folyamat véges sok lépésen belül végetér. Minden berakásra kerülő elemnél lesz később berakott elem melynek így nagyobb a sorszáma.

Óvatosan fogalmaztam, mert nem állítottam azt, hogy ez csak úgy lehet hogy minden elemnek létezik berakási sorszáma.

Megszámlálhatóan végtelen elem esetében létezik olyan eset, hogy :

- véges sok elemnek nincs berakási sorszáma

- megszámlálhatóan végtelen sok elemnek nincs berakási sorszáma

- minden elemnek van berakási sorszáma

Ha megszámlálhatóan végtelen sok elem van, akkor mindig létezik olyan sorrend, hogy minden elemnek van sorszáma.(Természetesen a másik kettő esetre is mindig létezik olyan sorrend hogy azok valamelyike teljesüljön.)

Ha az elemek számossága magasabb rendűen végtelen akkor nem létezik az elemeknek olyan sorrendje, hogy minden elemnek legyen sorszáma.

"A megszámlálhatóan végtelen szerintem azt kellene, hogy jelentse, hogy ha elkezdem berakni az összes számot gyufásskatulyákba, akkor egyszer az összes szám sorra kerül. Azonban ez nem igaz."

Persze hogy nem igaz, hiszen ha az összes szám sorra tud kerülni (tehát van utolsó), akkor a halmaz véges.

"Honnan tudjuk, hogy valóban minden számtól különbözni fog?"

Onnan, hogy ezt az új számot direkt úgy képezzük, hogy az első számjegye különbözzön a felsorolás első tagjának első számjegyétől, a második számjegye a második tag második számjegyétől, az x-edik számjegye az x-edik tag x-edik számjegyétől. Minden számjegye különbözik a felsorolás legalább egy tagjának adott sorszámú számjegyétől, tehát az új szám nem lehet egyenlő a felsorolás egyetlen tagjával sem. Abból indultunk ki, hogy a felsorolás tartalmazza az összes valós számot, de arra jutottunk, hogy létezik egy olyan szám, amit nem tartalmaz -> ez ellentmondás, aminek az a feloldása, hogy a feltételezés téves volt, tehát a valós számokból ilyen felsorolás nem készíthető, azaz nem megszámlálhatóan végtelen a halmazuk számossága.

Nem kérdező, én nem gondolom, hogy a végtelent konkrét számnak gondolod. Én azt látom, nem érted. Sem ezt, sem a bizonyítást. Nem érted, mitől más ez. Minden szavad tanusítja ezt.

De mondok jobbat. A te problémád a megszámlálhatóság és megszámlálhatatlanság közti eltérés mibenléte. Azt kell leszögeznünk, végtelen elemű halmazok vizsgálatánál másként járunk el, mint a végeseknél. Mégpedig abban másképp, hogy van egy gondolatmenetünk, és meg kell mutatnunk, az ellenkezője vagy igaz (a gondolatmenethez hasonlóan), vagy pedig nem igaz. Van még egy módszer. Megmutatjuk, hogy a dolog és ellenkezője nem lehet egyszerre igaz.

Tehát a megszámlálhatóság és sorbarakhatóság ugyanaz a problémakör. Amit megszámlálhatok, azt sorba is rakhatom, és fordítva, amit sorba raktam, azt meg is számlálhatom. Az egész számok megszámlálhatók! 1, 2, 3, ... nem hiszed? mondd, mit hagytam ki. Na most nézzük a valós számokat. Annyi bizonyos, a nulla és egy között (az egyet már nem beleértve) jó sok szám van, de egy és kettő között hasonlóan sok, aztán a kettő és három között, majd sorban minden két szomszédos egész szám között. Vagyis ha a [0,1) alulról zárt, felülről nyílt halmazt tekintem, ezekből a fajtákből megszámlálhatóan végtelen sok van. Meg fogom mutatni, hogy a [0,1)-beli számok nem megszámlálhatók.

Vegyük az első, második és sorban a összes egész számot. Rendeljük hozzá a nulla egész 1, 2, stb. számokat, ekkor ebből az intervallumból megszámlálhatóan végtelen sok számot kivettem. A maradékkal ismételjük meg úgy, hogy most a 0,11; 0,21; 0,31 stb. számokat vesszük. És ezt a szisztémát bármeddig folytathatom, az összes együttvéve még mindig megszámlálható, csak aza probléma, hogy a maradvány ennek ellenére még mindig számos elemet tartalmaz. A lényeg, hogy akárhogy csűröm csavarom, nem tudom kiüríteni e technikával ezt az egy hosszúságú intervallumot. Ha te azt állítod, hogy igen, lehet folytatni, akkor nyilván elmondod, hogyan. Én pedig pedig tetszőleges mennyiségű esetet fogok mutatni, ami bent maradt. Például bármelyik már sorra került tizedestört sorozathoz belebiggyesztek valahová egy egyest. Vagy kettest, vagy bármelyiket. Előtte persze tanulmányozom az algoritmusodat, hogy olyant választhassak, amit te még nem.

A lényeg, a valós számoknak ezt a végtelenül kicsiny darabját se lehet sorba rakni, mert mindig akad egy szám, amiből akár végtelen sorozatot tudok a te konkrét sorozatodba rakni. Az egynél kisebb végtelen tizedestörtek ugyanis nem olyanok, mint az egész számok, ott van bármelyikhez szomszéd. A valósaknak nincs szomszédjuk, mert ha mutatsz akár egyet, megmutatom, hogy tudok közéjük rakni, tehát nem szomszéd. Ez az a tulajdonság, ami megszámlálhatókra igaz, a nem megszámlálhatókra nem igaz. Pont ezért ez a nevük.

Még annyit. Tapasztalatom szerint vannak emberek, akik tudják saját képességeik határait. Így aztán felismerik, ha valami azon túl van, és ekkor szerényen kérdeznek (hogy tágíthassák az ismert határaikat).

És vannak emberek, akik nincsenek tisztában saját korlátaikkal. Ezért gyakran fordul elő, hogy valamiről azt hiszik, értik, pedig nem, mert korlátaikon túl van. Ám ők nem kérdeznek, mert ehhez fel kéne ismerni, nem tudják. Viszont az esetleges nemleges választ se értik, hozzászólni se tudnak, védekezésképpen marad, szánalmasak vagytok. Vagy ugyanez durvábban.

Az ismeret és nem ismeret határát nem könnyű felismerni, hiszen ehhez közeledve ismereteink egyre hézagosabbak. Ezért ide közelítve nem árt óvatosnak lenni. Összes nagyjaink a példák erre. Ha saját tudományok határaihoz érnek, kitérnek a válasz elől (mondhatnák egyszerűen hogy ez túl van a szakterületükön, de ekkor a felfuvalkodott üresfejűek kárörvendő kórusa mindent túlharsog, ők pedig nem kedvelik ezt a fajta zajt). Csak hát a szerénység még a meg nem számlálhatónál is nehezebb fogalom.