A végtelent osztva a végtelennel, az minden esetben véges számot ad eredményül?

Pontosabban: LEHET ezeket így is csoportosítani.

Úgy is lehet, hogy dupla annyi legyen, és máshogy is. A végtelennek ez a tulajdonsága.

Ha tudunk ilyen 1:1 csoportosítást csinálni, akkor azt mondjuk, hogy azonos a számosságuk.

A végtelen szám (a szám szónak a naiv fogalma értelmében), hanem egy olyan „jelleg”, ami bizonyos szempontból mutat a számokéhoz hasonló tulajdonságokat, bizonyos szempontból meg nem (pl. a végtelen nem páros, nem páratlan, nem egész, nem racionális, nem irracionális, nincs első vagy utolsó számjegye stb…). A határértékszámításnál a végtelen annak a kifejezése, hogy valami minden véges értéknél nagyobb, bármilyen határon túl növekvő. Ha „n” tart a végtelen felé – azaz minden határon túl növeljük az n értékét –, akkor az „n+1” értéke is minden határon túl fog nőni. Ahogy n tart a végtelenbe, hogy az n+1 nagyobb lesz tíznél, száznál, egymilliónál, nyolctrilliónál, bármilyen véges értéknél.

Végtelent végtelennel nem lehet osztani. Ami értelmezhető, ha egy végtelenhez tartó kifejezést osztunk egy másik végtelenhez tartó kifejezéssel, és erre nézzük meg, hogy az hova tart.

Pl. ahogy n tart a végtelen felé, a „2n” is a végtelen felé tart, meg a „n” is a végtelen felé tart. A (2n)/(n) bármilyen – nem nulla – szám esetén 2-t fog adni, így a végtelenhez tartó 2n-t osztva a végtelenhez tartó n-nel az eredmény 2 felé fog tartani. Ha kicsit pongyolán fogalmazzuk meg, akkor ebben az esetben ∞/∞=2. Ha viszont a n² -et osztjuk az n-nel, akkor ahogy n a végtelen felé tart, mindkét kifejezés értéke a végtelenhez tart, de a hányadosuk vagy n-hez, azaz végtelenhez, vagy ha megcseréljük őket, akkor az 1/n-hez azaz nullához fog tartani.

~ ~ ~

A halmazelméletben is előjön a végtelen, mint a halmaz számossága. Ott viszont megkülönböztethetők különböző végtelenek, attól függően, hogy a két végtelen elemszámú halmaz elemei között milyen megfeleltetést lehet, vagy nem lehet megtenni. Pl. az egész számok számossága azonos a páros számok számosságával, mert tudok egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést csinálni a két halmaz elemei között:

0 ↔ 0

1 ↔ 2

2 ↔ 4

3 ↔ 6

4 ↔ 8

5 ↔ 10

n ↔ 2n

Az egész számok halmazából bármelyik elemet is veszem (mondjuk a 42-t), akkor ahhoz tudok párosítani a páros számok közül pontosan egy elemet (a 84-et), és viszont, ha a páros számok halmazából választok egy elemet (mondjuk az 624-et), akkor ahhoz tudok pontosan egy elemet társítani az egész számok halmazából (a 312-t). Minden egész számhoz pontosan egy páros szám tartozik és minden egész számhoz tartozik egy páros szám, és viszont. Mint a jól nevelt kisiskolások szépen párban állnak egymással.

~ ~ ~

> Ha az egész számokat elosztom a páros számokkal, akkor 2-t kapok eredményül?

Ha pl. a 100 alatti pozitív egész számok számát elosztom a 100 alatti pozitív páros számok számával, akkor valóban 2-t kapok. A fenti párosítás szerint az 79-nek nem azért nem lesz párja, mert nem tudok páros számot rendelni hozzá, hanem mert amit hozzárendelnék (a 158-at), az már nem 100 alatti. Itt a hiba az, hogy véges számhalmazokat képzelünk el valamiféle közös intervallumhatárral. A végtelen halmazoknál nincs ilyen határvonal.