Minden racionális szám felírható véges tizedes (n-edes) törtben valamilyen n-áris számrendszerben?

"Minden racionális szám felírható véges tizedes (n-edes) törtben valamilyen n-áris számrendszerben?"

Igen.

Bizonyítás (ugyanaz, mint a 10-es számrendszerben):

Osszuk el a-t b-vel és az egészeket írjuk az n-edespont elé. A következő számjegy értéke n-szer kevesebbet ér, ezért a számértékét úgy kapjuk meg, ha osztás előtt a maradékot n-el szorozzuk és utána osztjuk a-val. És így tovább: szorzás n-el, osztás a-val.

Előbb utóbb ismétlődni fog a maradék? Igen. Mert maradékból legfeljebb 'a' különféle van. És onnantól a műveleteink eredménye is ismétlődni fog.

"Minden racionális szám felírható véges tizedes (n-edes) törtben valamilyen n-áris számrendszerben?"

Vagyis ez a tizes számrendszerben sem igaz. Csak annyi igaz, hogy periodusan ismétlődő n-edes (vagy tizedes) törttel írható le.

Vagy ha az a kérdés, hogy melyik számrendszerben írható le (ami sokkal triviálisabb dolog), akkor az a-s számrendszerben biztosan.

Igen, minden racionális szám a/b alakú, és a b alapú rendszerben felírható véges alakban. Ezen oknál fogva végtelen számú olyan n van, amelyben e szám felírható véges jeggyel.

Azonban az is igaz, hogy ugyanebben a rendszerben van olyan s, amelyre az a/s szám csak végtelen jeggyel írható fel.

Az igaz szintén, hogy adott rendszerben egynél több racionális van, amely felírható végesként. Ez adódik az oszthatósági szabályokból.