Miért tekintjük még mindig megoldatlannak a komplex számok rendezését?

Egy rendezett test esetén igaznak kell lennie, hogy ha a<b, akkor a+c < b+c (bármilyen c-re). (Idézőjelbe teszem az adott szám 2i alapú alakját.)

a := 0 = "0"

b := 1 = "1"

c := -1 = -(2i)² + 3*(2i)⁰ = "103"

Ez alapján a<b.

a+c = 0+(-1) = -1 = "103"

b+c = 1+(-1) = 0 = "0"

Ez alapján a+c > b+c, tehát nem teljesül a rendezett testekre vonatkozó kritérium.

~ ~ ~

Egy rendezett testnél igaznak kell lennie, hogy ha 0<a és 0<b, akkor 0<a*b. Így nyilvánvalóan ha 0<a, akkor 0<a². Ez előzővel együtt ennek meg az a következménye, hogy ha 0<a és 0<b, akkor 0<a²+b².

a := 1 = "1"

b := i = (2i)¹ + 2*(2i)⁻¹ = "10,2"

Ez alapján 0<a és 0<b.

a²+b² = 1² + i² = 1 + (-1) = 0

Így a²+b² = 0, tehát megint nem teljesül a rendezett testekre vonatkozó kritérium.

Nem megoldhatatlan, ha az a+bi formális kifejezést (az egyik precíz bevezetés szerint) (a,b) valós számpárként kezelem, akkor ezen be tudom vezetni a lexikografikus rendezést, ami teljes rendezést definiál a komplex számok között.

A probléma ott van, hogy a műveletekkel is legyen kompatibilis a rendezés. Azaz

1) ha z_1<z_2 és z_3 tetszőleges, akkor z_1+z_3<z_2+z_3

2) ha z>0 és z_1<z_2, akkor zz_1<zz_2

Teljesen mindegy, hogy jelöljük a dolgokat, ezeknek definíció szerint teljesülni kell. Most tfh. o<i. Ekkor 2)-ből oi<ii, azaz 0<-1.

0<-1-ből viszont megint a feltételek miatt 1<0<1 adódik, de 1=1 bármilyen rendezésben. Ez ellentmondás, (az i<0 eset hasonló), tehát csakugyan nem lehet semmilyen múveletekkel kompatibilis rendezést bevezetni a komplex számtesten.