Kihozható-e a mínusz előjel a gyök elé az alábbi esetben? Igaz-e az alábbi azonosság?

Amennyiben n páratlan, akkor igen, mivel ez páratlan függvény.

Páros gyöknél pedig nem, mivel ott a negatív szám gyöke mindig komplex.

Páros kitevő esetén nyilván nem. Egy számot páros (egész) kitevőjű hatványra emelve mindig páros számot kapunk, x²ⁿ≥0, így negatív szám páros kitevőjű gyöke nem értelmezhető.

Páratlan kitevő és negatív radikandus esetén is kérdéses. Nincs egységes értelmezése ennek, van, ahol ez nem értelmezhető, van, ahol meg értelmezik és pont az a definíció, hogy:

²ⁿ⁺¹√(-a) = -(²ⁿ⁺¹√a ) ahol a≥0

> Az 1-ből lehet akármilyen gyököt vonni.

Stimmel.

> az mindig 1 lesz az előjelével együtt

Nem stimmel. Az +1-ből mindig lehet gyököt vonni. A +1 előjele meg pozitív. -1-ből viszont nem lehet mindig gyököt vonni.

> n. gyök(a*b)= n. gyök(a) * n. gyök(b) azonosság alapján.

azaz

ⁿ√(a*b) = ⁿ√a * ⁿ√b

Oké, tehát:

ⁿ√((-1)*a) = ⁿ√(-1) * ⁿ√a

csakhogy ⁿ√(-1) nem minden n esetén értelmezhető és nem minden n esetén egyenlő -1-gyel. Pont páros n esetén nem igaz ez.

Amúgy ezen az alapon:

²√(-9) = - ²√9 = -3

Csakhogy a gyökvonás a hatványozás inverz művelete, márpedig (-3)²≠-9.

Szerintem te még sulis vagy, még hírből sem hallottál a komlex számokról.

Maradjunk hát a természetes, egész, racionális és valós számok halmazán egyelőre.

Ezeken a halmazokon csakis pozitív számokból lehet gyököt vonni, negatívokból nem (és minden pozitívból lehet, szerintem itt valamit félrehallottál a suliban.)

Ha olyan suliba/egyetemre fogsz menni, ahol fókuszba helyezik a reál tantárgyakat/matematikát, akkor fogsz tanulni komplex számokról is, ami egy kicsit másabb mint a valós számok halmaza. A komplex számok abban különbözik a többitől, hogy itt a negatív számoknak is van gyökük.

Egy komplex szám (többek között) így írható le:

a + bi, ahol a, b valós számok, i pedig az imaginárus szóból jön.

vagy (geometriailag):

r(cos(gamma) + sin(gamma) *i)

Hogy ez honnan jön?

A valós számokat az ox tengelyen lehet ábrázolni, a komplexeket azonban az oxy koordináta-rendszerben, ahol az "a" érték az ox tengelyen, a b pedig az oy tengelyen.

Még egy érdekes dolog a kompex számokon, hogy a megállapodás alapján:

i² = -1

ebből következik, hogy kompex számok halmazán gyök(-1) = +i és -i

Nem hozható mi.

Az azonosságok nemcsak önmagukban a képletekből állnak, hanem a HOZZÁJUK TARTOZÓ KIKÖTÉSEKKEL együtt kell őket értelmezni. Már pedig a te általad hozott azonosság csak a;b>=0 esetén működik!

Egyébként pedig akkor lenne kihozható, hogyha gyök(-1)=1 igaz lenne, de ez távolról sem igaz.

Talán egyszerűbb a fogalmi jelentések alapján.

A gyök egy inverz művelet, Az ennedik gyök az a szám, amit az ennedik hatványra emelve megkapjuk a gyök alatti számot. A hatvány pedig nem egyéb, mint ugyanazon számok szorzata. Továbbá igaz, hogy két negatív szám szorzata pozitív.

Ekkor, ha a gyök alatti szám negatív a gyököt ennedik (páros) hatványra emelve megkapjuk magát a negatív számot, ami nem igaz, mert bármilyen számot páros számszor összeszorozva pozitív számot kapunk. Ezért ez a gyök nem lehet egy valóságos szám (ugyanis nem vas, hanem komplex).

Ha viszont az előjelet kivinnénk a gyök elé, akkor az egy negatív szám, amit páros számszor összeszorozva pozitívat kapunk, és ez meg fog egyezni a gyök alatti mennyiséggel.

Azaz ez, meg az előbbi nem azonosak.