Be lehet bizonyítani, hogy 2 szupernégyzetgyöke nem áll elő két racionális szám hatványaként?

Indirekt tegyük fel, hogy x racionális, ekkor biztosan felírható p/q alakban, ahol p és q pozitív egész számok és egymáshoz relatív prímek, ekkor

(p/q)^(p/q) = 2, hatványozunk q-val:

(p/q)^p = 2^q

A jobb oldalon biztosan egy egész szám szerepel, így a bal oldalon is egésznek kell lennie. Tört pozitív egész kitevőjű hatványa csak akkor tud egész lenni, ha a tört egyben egész szám is, ekkor csak q=1 jöhet számításba (mivel p és q relatív prímek), ekkor pedig a p^p = 2 egyenletet kapjuk, ahol p pozitív egész, ennek az egyenletnek pedig nincs pozitív egész megoldása, tekintve, hogy a pozitív egész számok halmazán egy szigorúan monoton növő kifejezésünk van, p=1-re 1, p=2-re 4, p>2-re 4-nél nagyobb értéket kapunk.

Tehát ellentmondásra jutottunk, vagyis x nem lehet racioális, tehát csak irracionális lehet, (HA egyáltalán valós, azt viszont magasabb szintű matematikai eszközökkel lehet belátni, hogy ilyen valós szám létezik).

Most látom csak, hogy kicsit félreértettem a kérdéskört, mert nem ugyanazon szám hatványaként szeretnéd felírni, de ha tetszőleges racionális számokkal szeretnéd a hatványt felírni, akkor talán még egyszerűbb is;

x = p^q, mivel q racionális, írjuk fel a/b alakban:

x = p^(a/b), hatványozzunk b-vel:

x^b = p^a

A jobb oldal biztosan racionális, így a bal oldalnak is annak kell lennie, az pedig csak úgy lehet, ha x egy racionális szám b-edik hatványa. Ennek bizonyítása már nehezebb, de ha tudjuk/elfogadjuk, hogy x transzcendens szám, akkor kész is a bizonyítás, vagyis a válasz: nem.

Ha már zsákszám ontod magadból a hülyébbnél hülyébb és feleslegesnél feleslegesebb kérdéseket, mi lenne ha utána néznél, esetleg megpróbálnád magad bizonyítani?

Tudjuk, hogy te erre tudsz elélvezni. De mi lenne ha szednéd a bogyóidat amit a dokid felírt?

Mindkét fenti bizonyítás helyes.