Hogy lehet az, hogy a racionális számok tetszőlegesen meg tudják közelíteni az irracionálisokat (alef-0 -> c), de a természetes számok sokkal kevésbé a racionálisokat (alef-0 -> alef-0)?

Ez egy nagyon jó kérdés. :D

Először is tisztázzuk: alef_0 nem tart semmilyen értelemben c-hez. Ahogy alef_0 nem tart semmilyen értelemben alef_0-hoz sem, ezek egyenlők. A végtelen számosságokon bevezethető rendezés, és itt alef_0=alef_0<c.

Az, hogy racionálisok tetszőleges közel tudnak kerülni egy irracionálishoz, azon múlik, hogy a racionális számok halmaza sűrű a valós számok között, magyarán szólva tetszőleges nemelfajuló intervallum tartalmaz racionális számot. Legyen pl. r irracionális, ε>0 tetszőleges.

Ekkor a fentiek tükrében (r-ε,r+ε) tartalmaz racionális számot. Ezért akármilyen pozitív ε-t adok meg, tudok megadni hozzá olyan irracionális számot, amely legfelejebb ε-nal tér el az r számtól.

A természetes számok egész mások, ők nem alkotnak sűrű halmazt sem a valós számok, sem a racionális számok közt, hisz pl. a (0,1) intervallum nemelfajuló, mégsem tartalmaz egyetlen természetes számot sem. Ezért nem is elvárható tőlük, hogy tetszőlegesen közel legyenek egy tetszés szerint adott racionális számtól.

Skatulyaelvvel különben belátható, hogy ha r irracionális, akkor létezik végtelen sok p,q egész, melyekre |a-p/q|=<1/p^2.