Erre nem gondolt a kis Zénó?

Kérdező; itt nem az a lényeg, hogy megelőzi vagy nem előzi meg, hanem az, hogy a GONDOLATEMENET SZERINT nem lesz képes megelőzni a teknőst, mégsincs benne logikai hiba. Ennek feloldása az, amit te is mondtál, hogy a sebességet nem veszi figyelembe (de nem abban az értelemben, ahogy te gondolod), és emiatt valóban úgy tűnhet, hogy végtelen idő is kevés lenne ahhoz, hogy a futó beérje a teknőst.

Vezessük le egy konkrét példán; tegyük fel, hogy Akhilleusz 1 métert tesz meg 1 másodperc alatt, a teknős pedig 0,1 métert. Nézzük lépésről-lépésre;

-Első körben eltelik 100 másodperc, ezalatt a teknős 10 métert haladt.

-Második körben eltelik 10 másodperc, ezalatt a teknős 1 métert haladt.

-Harmadik körben eltelik 1 másodperc, ezalatt a teknős 0,1 métert halad.

-Negyedik körben eltelik 0,1 másodperc, ezalatt a teknős 0,01 métert haladt.

-Ötödik körben eltelik 0,01 másodperc, ezalatt a teknős 0,001 métert haladt.

És ezt nyilván lehetne folytatni a végtelenségig.

Most nézzük meg, hogy ez a végeláthatalan(nak tűnő) futóverseny mennyi ideig tart, ehhez értelemszerűen össze kell adnunk az eltelt időket:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,001 + ...

És itt van az érdekesség. Végtelen sok számot adunk össze, az eredmény mégsem lesz végtelen, hanem valami véges szám lesz. A szerencsés számválasztásnak köszönhetően most nem kell mindenféle végtelen sorösszegzést ismernünk, mivel szemmel láthatóan az összeg felírható 111,1111111... alakban. Tehát amíg NEM ELŐZI MEG a teknőst, addig NEM TELHET EL 111,11111.... másodpercnél több idő.

Ha normálisan megoldjuk a feladatot, akkor is ugyanezt az eredményt kapjuk; tegyük fel, hogy x másodperc múlva beéri Akhilleusz a teknőst, ezalatt a teknős x*0,1 méter utat tesz meg, Akhilleusz pedig egyrészt x métert, másrészt 100+x*0,1 métert, ennek a kettőnek meg kell egyeznie, tehát:

x = 100+x*0,1, ennek megoldása x=100/0,9=111,11111..., tehát ennyi másodpercig tart a verseny.

Mit nem értesz kérdező?

Zénón ráérzett a végtelen számsorok összegének problematikájára. Akkor még nem ismerték a határérték és a konvergens számsorozatok, számsorok fogalmát, ezért számára nem volt feloldása a paradoxonnak.

Számunkra már van feloldása: az Akhilleusz által megtett útszakaszok egy konvergens számsorozatot alkotnak, amelyhez asszociált számsor is konvergens, azaz véges összegű. Ez a matematikai bizonyítása annak, hogy a probléma egy ilyen olvasatában is létezik megoldás, és az nem más, mint az, amit tudunk, hogy léteznie kell, hiszen tudjuk, hogy a valóságban Akhilleusz nyilván utoléri a teknőst.

Szóval: mit nem értesz ezen?

A lényeg, hogy abban a szabályrendszerben (látszólag) soha nem előzi meg a teknőst. Mert ugye ha rendesen nézzük, azokon a pontokon ugyanúgy átfut Akhilleusz, mint amiket konkrétan vizsgálunk.

A másik dolog, amit szintén nem ismertek még akkor, hogy végtelenből is többféle van.