Ebben az oszthatósági bizonyításban kellene segíteni?

Gondolom n egy természetes szám akar lenni. Ha n ≡ 0 mod 3 (azaz n 3-mal osztva 0-t ad maradékul), akkor minden OK. Legyen:

1)

n ≡ 1 mod 3

Ekkor 2n^3 ≡ 2*1^3 mod 3 = 2, 9n^2 ≡ 9*1^2 mod 3 = 0, 13n ≡ 13 ≡ 1 mod 3, 12 ≡ 0 mod 3.

Az összegük: 2+0+1+0 ≡ 0 mod 3

2)

n ≡ 2 mod 3

Ekkor 2n^3 ≡ 2*2^3 mod 3 = 1, 9n^2 ≡ 9*2^2 ≡ 0 mod 3, 13n ≡ 13*2 ≡ 2 mod 3, 12 ≡ 0 mod 3.

Az összegük: 1+0+2+0 ≡ 0 mod 3

Mindkét esetben osztható lesz 3-mal az eredmény (≡ 0 mod 3, azaz 3-mal osztva 0-t ad maradékul).

Vagy kevésbé formalizáltan:

3-mal való oszthatóság szempontjából a számok 3 csoportba tartoznak:

n=3k, n=3k-1 vagy n=3k+1

Könnyű kitalálni, hogy ezen csoportbeli számok páros és páratlan hatványai milyen maradákot adnak 3-mal osztva.

És utána csak össze kell adni a maradékokat a polinomban.

A 3-mal oszthatóság is könnyen belátható;

egyrészt a 9n^2 és a 12 osztható 3-mal, így csak a (2n^3+13n)-re kell koncentrálni. Az összeg felírható úgy, hogy 2n^3 + 12n + n, ebből a 12n osztható 3-mal, így csak a 2n^3+n kifejezésre kell belátni a 3-mal oszthatóságot. Emeljünk ki n-et: n*(2n^2+1).

Most nézzük csak a 2n^2+1-et; vonjunk le 2-t, és adjuk is hozzá: 2n^2-2+3, itt pedig ki tudunk emelgeti: = 2*(n^2-1)+3 = 2*(n-1)*(n+1)+3, tehát:

n*(2*(n-1)*(n+1)+3), kibontva a külső zárójelet:

2*n*(n-1)*(n+1) + 3n

A 3n nyilván osztható 3-mal. A 2*n*(n-1)*(n+1) szorzatban 3 egymást követő egész szám látható, és köztudott, hogy 3 egymást követő egész szám közül az egyik mindig osztható 3-mal.

Ezzel beláttuk, hogy az eredeti is osztható 3-mal.

Ehhez a fajta megoldáshoz csak alap algebrai ismeret kell és egy kis kreativitás, de ha tudunk teljes indukcióval bizonyítani, akkor azzal sokkal hamarabb megvan.

Egyébként a kettővel való oszthatóságot teljes indukcióval bizonyítani egy kicsit "ágyúval verébre".

Mert n vagy páros vagy páratlan. Mindkét esetben nagyon egyszerű a bizonyítás.

Álljon itt egy teljes indukciós megoldás:

Egyrészt n = 0-ra osztható 6-tal.

Egyébként meg:

: f(n+1) - f(n) = 6n^2 + 24n + 24 = 6(n^2 + 4n + 4)

így n->n+1 és n->n-1 esetén a 6-tal való oszthatóság megmarad.