Aki tud integrálni, segítene?

A kulcs a jó paraméterezés:

Először is helyezzük a két hengert el úgy, hogy a térbeli koordinátarendszer x és y tengelye éppen a két henger (forgás)tengeléyvel egybeessen. A szimmetriák miatt a szóban forgó tartomány 16 db egybevágó testre darabolható. Ezt úgy lehet talán elképzelni, hogy mindkét hengert tengelyük irányából nézve félbevágjuk az (x,y) síkkal, majd pedig (x,z) illetve (y,z) síkkal. (Mintha az alapköröket negyedeltük volna a koordináta tengelyekkel, mint egymásra merőleges átmérőkkel.) Majd kiválasztunk két metsző "negyedhenger" által meghatározott metszetet. Ennek térfogatát kell vennünk 16szor (kétszer negyedelés).

A 16od térfogat paraméterezhető gömbi polárkoordinátákkal:

x=r*cos(u)cos(v)

y=r*cos(u)sin(v)

z=r*sin(u)

, ahol

u eleme [0,Pi/4]

v eleme [0,Pi/2]

r eleme [0, R*gyök(2)]

Az áttérés mátrix determinánsa pedig: r^2cos(u)

Ezek alapján a hármasintegrál:

Int[0tol Pi/2](Int[0tol Pi/4](Int[0tol R*gyök(2)]r^2*cos(u) dr)du)dv=

=2*gyök(2)R^3/3 * Int[0tol Pi/2]( Int[0tol Pi/4] Cos(u) du )dv =

=2*gyök(2)R^3/3 * (Sin(Pi/4)-Sin(0)) *Int[0tol Pi/2] dv =

=2*gyök(2)*R^3/3 * (1/gyök(2)) * Pi/2 = Pi*R^3/3

Így a térfogat 16*R^3*Pi/3.

ui.:Nem tudom, hogy a Pi-nek miért kellene eltűnnie, szerintem az nálad csak lemaradt.

Igen, igen, mea culpa. Két nagy hibám volt a paraméterezésnél... A két szög ugyanis: u az adott helyvektor (x,y) síkkal bezárt szöge, a v pedig a helyvektor (x,y) síkra vett vetületének x tengellyel bezárt szöge. Nos tévesen írtam, hogy u végigfuthat szabadon 0 és pi/4 között. u függ v szögtől, mégpedig úgy, hogy u eleme [0, arctan (sin (v))]. A másik dolog r helyvektor hossza. Ez pedig természetesen u tól és nem v-től függ, így erre r eleme [0,R/cos(u)] áll.

Ez alapján a hármasintegrál:

Int[0tol Pi/2] (Int[0tol arctan(sin(v))] (Int[0tol R/cos (u)] r^2*cos(u) dr)du)dv=

=R^3/3 * Int[0tol Pi/2] (Int[0tol arctan(sin(v))] 1/cos(u)^2 du) dv =

// 1/cos^2 prim. fv-e éppen tan, ami az alsó határon eltűnik, fölsőn pedig épp arctangenssel kiütik egymást //

=R^3/3 * Int[0tol Pi/2] sin(v) dv = R^3/3 *[- cos v ][v=0tol v=Pi/2]=R^3/3.

És a térrész 16szor.

ui.: Sajnos ábrák nélkül nem tudom mennyire ment át a paraméterezés. Ez már biztosan jó, első körben nagyon felületes voltam, v szöget összekevertem két szimmetriasík lapszögével. Ha túl ködös, akkor dobj emailt és próbálok vmi rajzot küldeni. Üdv!

Először is ki kellene számolni a merőleges esetet. Itt lesz egy teljes henger a nagyobb henger belsejében, melynek alapköre a kisebb sugár, magasságát meghatározhatod, ha síkmetszetet készítesz a nagyobb alapkörről. A feladat így az, hogy a kisebb átmérő hosszúságú húr milyen távol van a középponttól (és ez még ugye 2szer).

A két maradék térrész egybevágó, sőt a kisebb kör tengelysíkok általi negyedelésével négy-négy egybevágó térelemre bontható. Ezek nagyon hasonlítanak az egyenlő sugáros esetre, csak "laposabbak"; tehát ahol ott a két megfelelő oldal lapszöge 45° volt, itt ez kevesebb. A felülnézeti síkmetszeten a szög meghatározható. Ha megrajzoljuk a szelőt, akkor merőlegest állítva a középponton át a szelőre létrejön egy metszéspont a körön (szelőhöz közelebbi). Ezt a pontot a szelő által a körből kimetszett két metszésponttal összekötve egyenlőszárú háromszöghöz jutunk. A keresett lapszög az egyik alapon fekvő szög.

Az alapesethez hasonló paraméterezéssel már ki lehet számolni az integrált.

A "ferde" esetben azon gondolkodtam, hogy először a merőleges esetből kiindulhatnánk-e. Mert sejtésem szerint a hengerek metszetére talán felírható ilyenkor egy lineáris transzformáció, ami merőleges esetet a ferdébe vinné.

Ha a koordináta-rendszer olyan, hogy a nagyobb alapkörű henger tengelye a 'z' tengely, míg kisebbé pl. 'x', akkor a transzformáció során x,y, koordináták nem változnak.

Első blikkre:

A z'=z/cos(w)-x*cot(w), ahol 'w' a z tengely és a kisebb henger tengelyének szöge. Ezek alapján felírható lenne a transzformáció mátrixa:

1 0 0

0 1 0

-cot(w) 0 1/cos(w)

Aminek a determinánsa 1/cos(w), és ez éppen a térfogatváltozás szorzója lenne a merőleges esethez képest. (Szemléletben ez még nem is rossz, mert ha w 90 fok akkor 1/cos(90)=végtelen, ami jogos következtetés hiszen ekkor a nagyobb (alul, fölül nyílt) henger tartalmazná a másikat és tényleg végtelenre nőne a közös térfogat, a másik határon pedig 1szeres szorzót kapnánk.)

ui.: Azért a nyakamat most nem tenném egyikre sem, ezeket kis gondolkozás, firkálgatás után írtam, többre nem jutott időm még. Esetleg próbáld meg az integrált ezek alapján, vagy ellenőrizd a lin. transzformációt.

Ja és, ha holnap meglátom a kérdést, hogy mi van akkor, ha a két forgástengely kitérő egyenespár, akkor gutaütést kapok ;).