Egy gyűrűelem akkor és csak akkor nullosztó, ha nem invertálható. Erre ellenpélda?

Az egész számok gyűrűjében pl. a 2 a szorzásra nézve nem invertálható elem, de nem is nullosztó.

A modulo m-es példák itt valóban nem működnek.

#4

Lsd. itt:

[link]

#6

Nem tudok róla, hogy ez Magyarországon valaha is érettségitétel lett volna (azt tudom, hogy pl. Romániában tanítanak némi absztrakt algebrát már középiskolában is, de nem ilyen szinten). Itt Magyarországon ez egyetemi tananyag matematikusoknak/matektanároknak, és tudtommal 30 éve is az volt.

Ez egy kétirányú állítás.

Az egyik irány ("ha egy elemnek van nullosztópárja, akkor nincs mult. inverze") abból következik, hogyha veszel egy nullosztó párt "a"-t és "b"-t, amelyek közül egyik sem 0, de a szorzatuk igen, akkor ha azt mondom, hogy "b"-nek van mult. inverze, ami legyen "c", akkor:

1. a*(b*c)=a*1=a

2. (a*b)*c=0*c=0

És ez ellemmond annak, hogy "a" nem nulla. Tehát "b"-nek nem lehet multiplikatív inverze ilyenkor ("a"-ra majdnem ugyanígy bizonyítható).

A másik irány ("ha nincs mult. inverze egy elemnek, akkor van nullosztópárja") az 1. hozzászóló ellenpéldája alapján valóban nem igaz bármilyen gyűrűben.

Viszont véges gyűrűben igaz.

Ha felteszem, hogy a gyűrűnek "n" darab eleme van és az "a" egy nem invertálható elem és tekintem a következő szorzatokat a gyűrű "n" darab elemével, amik mind eltérnek:

a*b1, a*b2, ..., a*bn.

Ez "n" darab olyan szám, ami közül egyik sem 1 (amiatt a feltevés miatt, hogy nem invertálható), szóval legfeljebb n-1 különböző értéket vehetnek fel, ami miatt biztos van két olyan elem ebben a sorban, amik egyformák.

Például az i. és a j. esetén:

a*bi=a*bj, amiből következik, hogy:

a*bi-a*bj=0, ami miatt

a*(bi-bj)=0.

Tehát találtam az "a"-hoz egy nullosztó párt, ami a bi-bj, ami nem nulla, mert feltettük, hogy ezek a "b" számok mind különböznek.

Bocs, kicsit hosszú, de az algebra sajnos ilyen :D