Melyik a legkisebb olyan prímszám, amelyik egy páros szám ötödik hatványa + 243?

Először vegyük észre, hogy 243=3^5. Tegyük fel, hogy n a páros szám, ekkor az a kérdés, hogy az n^5+3^5 mikor lesz prímszám. Azt biztosan tudjuk, hogy

a^5+b^5 = (a+b)*(a^4-a^3*b+a^2*b^2-a*b^3+b^4), esetünkben a=n és b=3, így

n^5+3^5 = (n+3)*(n^4-n^3*3+n^2*9-n*27+81), a második tényező az egész számok halmazán tovább nem bontható. Ez a szorzat csak úgy lehet prím, hogyha az egyik tényező az 1, a másik pedig valamilyen prímszám. Az első tényező nyilván nem lehet 1, így a másikat kell megnézni, és arra is azt kapjuk, hogy nem lehet, tehát nincs olyan pozitív n, hogy ez prímszám lehessen.

Ha negatív számokat is megengedünk n értékeként, akkor n értéke lehet -2 vagy -4, ekkor az első tényező értéke 1 és -1, a másik tényező értéke 211 és -781, a 211 prímszám, a -781 nem prímszám, tehát az egyik lehetséges megoldás a kérdésre a -32.

Megoldásunk még úgy lehet, hogyha a második tényező -1, de sajnos (vagy szerencsére) az sem lehet az értéke, hogyha n egész.

Tehát a feladatnak egyetlen megoldása a -32.