Gödel tényleg azt bizonyította, hogy a matematika megbízhatatlan?

nem. szó nincsen róla.

Gödel pongyolán fogalmazva azt bizonyította, hogy mindig lesznek axiómáid, vagy, ha úgy tetszik azt, hogy lesznek olyan kérdéseid, amit nem fog tudni megválaszolni.

akinek ez azt jelenti, hogy megbízhatatlan, az még nem találkozott az élet nevű dologgal...

Benne voltam abban a vitában.

Gödel nem bizonyította, hogy a matematika megbízhatatlan lenne.

Az első nemteljességi tétel annyit bizonyított, hogy a matematika nem „univerzális”, egy ellentmondásmentes axiómarendszerben mindig lesznek kétségtelenül igaz, de bizonyíthatatlan állítások. Ráadásul azt, hogy egy állítás bizonyítható-e, annak eldöntésére sincs mód.

Pl. mind a mai napig nincs bizonyítva Goldbach-sejtés, ami ugye azt mondja ki, hogy bármelyik kettőnél nagyobb páros szám felírható két prím összegeként. (4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; 12=5+7; 14=3+11=7+7; stb…) Valahogy érezzük, hogy ez a sejtés nagy valószínűséggel igaz, hiszen minél nagyobb páros számokról van szó, tendenciózusan annál többféle módon írható fel két prím összegeként. De ez még kevés, maga a sejtés nincs bizonyítva. Gödel előtt mindenkinek a ki nem mondott sejtése az volt, hogy bármilyen matematikai kérdéssel, problémával is állunk szembe, előbb-utóbb megtaláljuk rá a megoldást. Gödel azt bizonyította, hogy nem minden ilyen problémának van megoldása. Lehet a Goldbach-sejtéssel is foglalkozhatunk 10 évet, 100 évet, százmillió évet, akkor sem lesz a sejtés bizonyítva. De ettől a matematika nem vált megbízhatatlanná, a felmerülő matematikai problémák, kérdések jelentős része ettől még megoldható, megválaszolható.

A matematika egy adott területe akkor lenne megbízhatatlan, ha az adott axiómarendszerről kiderülne, hogy nem ellentmondásmentes. Így joggal merült fel az a kérdés, hogy egy adott axiómarendszerről hogyan lehet eldönteni, hogy ellentmondásmentes-e. Van-e módszer, amivel bizonyítható egy axiómarendszer ellentmondásmentessége. Gödel második nemteljességi tétele azt bizonyítja, hogy nincs ilyen módszer. Az adott axiómarendszeren belül az az állítás is bizonyíthatatlan, hogy maga az axiómarendszer ellentmondásmentes. Ettől még lehet, hogy ellentmondásmentes, csak az ellentmondásmentessége nem bizonyítható. Ez megint nem jelenti azt, hogy a matematika úgy általában megbízhatatlan lenne, csak azt jelenti, hogy nem lehet bizonyítani a megbízhatatlanságát.

A „megbízhatatlan” és a „nem bizonyítható a megbízhatósága” két különböző tartalmú kijelentés. Hasonlóan ahhoz ahogy mást jelent az „ártatlan” és a „nem bizonyítható a bűnössége” kifejezés is. Ez utóbbi esetén lehet az illető bűnös is, ártatlan is, pont az a lényeg, hogy nem tudjuk melyik.