Mátrix négyzetre emelése?

Csak négyzetes mátrixokat lehet négyzetre emelni, ez következik a mátrixszorzás szabályaiból.

A példában egy (két elemű) oszlop mátrix van. Tehát azt sehogy se lehet.

Egyébként, ha emlékeim nem csalnak, az egységmátrixra teljesül kizárólag az az egyenlőség. (olyan mátrix, amelynek átlójában mindenütt egyes van, minden más eleme nulla.

Szóval az A =

{{x, 7},

{y, 3}}.

Most vagy kiszámolod szépen a négyzetét, és lesz négy egyenleted x-re és y-ra, amikből majdcsak kitalálod őket valahogy:

[link]

vagy azt mondod, hogy ez definíció szerint egy projekció mátrixa, tehát

det(A) = 3*x – 7*y = 0 --> y = 3*x/7;

és Tr(A) = x + 3, ami idempotens mátrixokra éppen Rk(A) ( [link] ), ami egy 2×2-es mátrixra egy olyan nem negatív egész, ami legfeljebb 2, tehát

x + 3 = 0 --> x = –3 és y = –9/7 vagy

x + 3 = 1 --> x = –2 és y = –6/7 vagy

x + 3 = 2 --> x = –1 és y = –3/7.

Próbáld ki, hogy jó-e valamelyik. (Hint: elég gyanús, hogy egy 2D projekció rangja csak akkor lehet 2, ha az az identitás, és csak akkor lehet 0, ha az minden vektort a 0-ba képez, tehát ez a 3 lehetőség elég jelentősen szűkíthető, még egy kevés logikával.)

Na, nem megy ez nekem…

> „egy 2D projekció rangja csak akkor lehet 2, ha az az identitás”

Ekkor a determinánsa 1, tehát a harmadik egyenlet az az, hogy

x + 3 = 2 --> x = –1, és y = (3*x – 1)/7 = –4/7.

Szóval egy projekció determinánsa 1 vagy 0, de ha 1, akkor az az identitás.

> „Köszönöm szépen a választ, x=-2, y=-6/7 volt a helyes megoldás.”

Jah, hogy ez csak ilyen próbálgatós feladat volt… Akkor sajnolom, hogy túlmagyaráztam…

Verébre ágyúval, többnyire semmi se marad a verébből.

Most vagy időközben átalakult a teljes mátrixalgebra vagy félmegoldásokból senki nem vette észre, hogy a másik felére nem stimmel.

A mátrixszorzásnak tessék utánanézni elemi tankönyvekben. Azonnal látszik, hogy van négy egyenlet 2 ismeretlennel. Ennek megoldása akkor és csak akkor van, ha 2 2 egyenlet egymás többszöröse. Ránézésre látszik, hogy ez nem igaz, tehát a feladatnak nincs megoldása. Akinek nem látszik, a második oszlopra nézve két elsőfokú egyenletet kapunk, amiből azonnal jön a fent is említett hamis megoldás. Csakhogy ha ezt behelyettesítjük az első oszlop egyenleteibe, akkor nem igaz az egyenlőség. Röviden: Ilyen formájú 2×2-es mátrix esetén semmilyenre nem teljesül az az egyenlőség. Még rövidebben: Négyzetmátrix akkor és csak akkor egyenlő önmagával, ha a mátrix egységmátrix. Ez is elemi mátrixalgebrai megállapítás.

> „Még rövidebben: Négyzetmátrix akkor és csak akkor egyenlő önmagával, ha a mátrix egységmátrix. Ez is elemi mátrixalgebrai megállapítás.”

Mi a véleményed a csupa 0 mátrixról?

Vagy arról, amit itt kihoznak végeredményként, és az x = y egyenesre vetítést írja le?

https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazif..

Vagy arról, hogy rendesen helyettesítjük az itteni végeredményt:

{{–2, 7},

{–6/7, 3}}.

• Az első sor vektora szorozva az első oszlop vektorával

• A11 = (–2, 7)*(–2, –6/7)^T = (–2)*(–2) + 7*(–6/7) = 4 – 6 = –2.

• Az első sor vektora szorozva a második oszlop vektorával

• A12 = (–2, 7)*(7, 3)^T = (–2)*7 + 7*3 = –14 + 21 = 7.

• A második sor vektora szorozva az első oszlop vektorával

• A21 = (–6/7, 3)*(–2, –6/7)^T = (–6/7)*(–2) + 3*(–6/7) = 12/7 – 18/7 = –6/7.

• A második sor vektora szorozva a második oszlop vektorával

• A22 = (–6/7, 3)*(7, 3)^T = (–6/7)*7 + 3*3 = –6 + 9 = 3.

> „Verébre ágyúval, többnyire semmi se marad a verébből.

A mátrixszorzásnak tessék utánanézni elemi tankönyvekben.”

Ha megnézed, akkor én is ezt a módszert javasoltam, rögtön az első mondatomban… Csak eszembe jutott, hogy lehet gyorsabban is. Persze így tételeket használunk, amiket érthető, hogy érdemes kerülni, amíg az elemi módszereket gyakoroljuk.

> „Azonnal látszik, hogy van négy egyenlet 2 ismeretlennel. Ennek megoldása akkor és csak akkor van, ha 2 2 egyenlet egymás többszöröse.”

Inkább lineáris kombinációja… Pontosabban, ha nincs köztük három lineárisan független.

------***------

Viszont most az én megoldásom volt elég kusza (és erre nem túl nagy mentség, hogy az is szempont volt, hogy a kérdező gondokozhasson egy kicst, főleg, hogy ezt nem sikerült elérni), így inkább leírom rendesen:

[link]

Emiatt rk(A) = Tr(A) = x + 3. Mivel 2×2-es, ezért a rangja legfeljebb 2, így három eset van: a rang 0, 1 vagy 2. Ha 0, akkor a képtér 0D, és minden vektort a 0-ba képez, de ez nem lehet, mert van nem 0 eleme (például a 7). Ha a rang 2, akkor a képtér 2D, és a négyzete csak úgy lehet önmaga, ha ezt az egész képteret önmagába viszi, ez pedig csak az egységmátrixra igaz, nyilván ez sem teljesül. Tehát a rang csak 1 lehet, így x + 3 = 1, tehát x = –2.

Másrészt mivel mátrixok szorzatának a determinánsa a mátrixok determininánságak szorzata:

det(A)^2 = det(A),

tehát det(A) = 1 (ez csak úgy lehetne, hogyha a képtérben minden háromszög térfoga egyezik az eredeti háromszög térfogatával, tehát a rang 2), vagy pedig (és ez kell legyen a helyzet)

det(A) = –2*3 – 7*y = 0 --> y = –6/7.

Helyettesítve x-et és y-t azt látjuk, hogy ez valóban megoldás; lásd a •-ozott sorokat fentebb.

Sajnálom, hogy zaklatásnak fogtad fel. Azért volt rá szükség, mert sokszor a tárgytól eltérve, a személyeskedésre koncentrálva kötözködtél (effektíve nyilvánosan zaklatva bárkit, néha csak azért, mert félre értettél egy fél mondatot), és én nem akartalak egyrészt megalázni, másrészt azt sem, hogy a szakmai vita személyeskedő veszekedésekké fajuljon a kérdések alatt. De látom, veled ez elkerülhetetlen. Ha szerinted csak az egységmátrix négyzete nulla, akkor maradj meg ebben a tudatban. Neked már mindegy.

16:13-as, téged sikerült meggyőzzelek, hogy jó eredmény az x = –2, y = –6/7?

> „Ha szerinted csak az egységmátrix négyzete nulla”

Illetve önmaga. De végül is mindegy abból a szempontból, hogy neked nem kell értened hozzá.