Egy gömbre minimum hány pontot kell rakni hogy bármilyen szemszögböl látszódjon?

Attól függ, milyen messziről nézel a gömbre.

Ha úgy tekintjük, hogy végtelen messziről nézünk, és egy zárt félgömböt látunk, akkor 2 pont elég, egymással szemben.

Ha azt mondjuk, hogy bármilyen messziről nézhetünk, de nem végtelen messziről, tehát egy nyílt félgömböt látunk, akkor 4 pont kell, például egy gömbbe irt szabályos tetraéder csúcsai. ( 3 nem elég, mert mindig van hozzájuk zárt félgömb, ami mindet tartalmazza)

Ha a nézőpontunkkal elkezdünk a gömb felszíne felé közeledni, egyre kevesebbet látunk, egészen addig, hogy a felszínéről nézve csak a saját pont látható. Ebben a szélső esetben nyilván a felszín összes pontját ki kell választani, ami már végtelen sok.

Attól függ, hogy milyen távolságból nézed és hogy mekkora a gömb átmérője (illetve hogy mekkora a távolság a szemlélő két szeme között).

Egy kis gömb esetén (pl. golflabda méret) az átmérő kisebb mint a szemek közötti távolság, ezért horizontálisan több mint 180° belátható. Vertikálisan viszont nem (mert a szemek egymás mellett vannak). Mivel azt írtad, hogy "bármilyen szemszögböl látszódjon", ezért a legrosszabb helyzetet kell alapul venni, azaz mikor függőlegesen "egymás felett" helyezkednek el a pontok. Most jön be a képbe hogy milyen messziről nézed azt a gömböt. Ha kellő távolságból, akkor ugye majdnem 180° vertikálisan is belátható, de csak majdnem, így 3 pontnak elégnek kell lennie rajta, mivel 3 pont 120°-ra osztja fel a "síkot". Ha viszont nagyon közelről, már-már felületről (ezt nagyobb gömb esetén lehet jobban elképzelni, pl. a Föld - az most mindegy hogy nem szabályos gömb) akkor a belátható szög lehet hogy kisebb mint 120° így több mint 3 pontra van szükség.

Megerősítve és összefoglalva az előző válaszokat:

Tekintsük a Földet az egyszerűség kedvéért teljesen sík, szabályos gömbnek. Mit látsz, mikor erre a gömbre ránézel egy bizonyos távolságból? A horizont körvonalát a nézőpontból a gömbhöz húzott érintők érintési pontjai határozzák meg, ami a horizonton belül van, azt látod. Ez egy gömbhéj. Ezen a gömbhéjon belül minden pontot látni fogsz.

Ha végtelen távolságról tudnál ránézni, akkor a gömbhéj, amit látsz, egy félgömb. Mivel két félgömb kiad egy gömböt, így elég a gömbön két átellenes pontot kijelölni, az bárhonnan is nézed a gömböt – analógiaként, akárhogy is forgatod a gömböt – úgy helyezkednek el, hogy legalább az egyik pont látszódni fog.

Ha csak nagyon távolról, de nem végtelen távolságról nézed a gömböt, akkor a látható gömbhéj közelít a félgömbhöz, de mindig kicsivel kisebb nála. Itt két pont nem elég, mert van olyan nézőpont, ahonnan pont mindkét pont kívül esik a gömbhéjon. Három pont ha egy ilyen majdnem félgömbre esik, akkor a másik oldalról nem látszik, ha meg pont egy síkban van a gömb középpontjával, akkor ugyanaz a probléma, mint két átellenes pont esetén. Itt legalább négy pont kell, a legegyszerűbb – ahogy fent írták – egy olyan szabályos tetraéder négy csúcspontját kijelölni, amely tetraéder köré írható gömbje pont a Föld felszíne. Egy Föld-Nap távolságról így mindig legalább egy pont látható.

De ahogy csökken a távolság, egyre kisebb és kisebb középponti szöggel bíró, egyre kisebb felületű gömbhéjat látsz. Ha a Föld felszínén állsz, akkor egy nagyon kis gömbhéjat látsz csak, ami a felszín elég kis részét fedi le. A horizontod egy alig 5 km sugarú kör, ami ezen belül van, azt a pontot látod, de ami 5 km-nél messzebb van, azt már nem. Ergo ha azt akarod, hogy mindenhonnan láss egy pontot, akkor egy ponttól maximum 10 km távolságra kell lennie egy újabb pontnak. Pontosabban a gömb bármely pontjától legalább 5 km-re kell lennie egy ilyen kijelölt pontnak. Nyilván ebből elég sok kell.

A dolog tehát távolságfüggő. Viszont nem is olyan triviális egy adott távolságnál megmondani, hogy hány ilyen pont kell. A probléma kb. hasonló ahhoz, mintha egy függvényt kellene kreálni arra, hogy egy n méter átmérőjű asztalra hány – adott sugarú – pénzérme helyezhető el átfedés és lelógás nélkül. Ha kellően nagy az asztal, lehet egy közelítő képlettel számolni, de kisebb pénzérme:asztalméret arány esetén nem triviális a kérdés. Hasonlóan itt is kellően nagy távolságra lehet valami közelítő képletet használni, hogy hány ilyen pont kell, de kisebb távolságok esetén kell némi kreativitás ahhoz, hogy megtaláld a minimális pontot tartalmazó elrendezést.