Hogyan határozzam meg ennek a minimumát?

Ha adott, hogy 2x+y=1, akkor y=1-2x, ezt beírjuk a kifejezésbe:

2x^2+12x+3*(1-2x)^2 = 2x^2+12x+3*(1-4x+4x^2) = 2x^2+12x+3-12x+12x^2 = 14x^2+3, ennek a minimuma x=0-ban van. Nézzük meg, hogy x lehet-e 0; y=1-2*0=1, ennek az abszolutértéke 1, tehát lehet.

Tehát a függvény minimuma x=0 és y=1 helyeken lesz, értéke 3.

Igaz. Akkor a végéhez hozzácsapunk még 4x-et:

14x^2+4x+3, majd ezt vagy deriválod, és megnézed, hogy hol 0 a derivált, ugyanis ott szélsőérték lehet, vagy teljes négyzetté alakítod:

14*(x^2+2/7x)+3=14*((x+1/7)^2-1/49)+3, ebből már látjuk, hogy x=-1/7-nél lesz ennek a minimuma, ekkor y=9/7, ennek az abszolutértéke több, mint 1, tehát ez nem jó. Innen két választásunk van;

-ha x<-1/7, akkor értelemszerűen y értéke is nőni fog, tehát ez nem jó nekünk.

-ha x>-1/7, akkor azt tudnunk kell, hogy itt a függvény szigorúan monoton növekvő, tehát a legkisebb számításba jöhető x-et kell választanunk, az pedig a 0 lesz, mivel akkor y=1-2*0=1, ennek az abszolutértéke már 1, ami jó nekünk. Tehát a függvénynek az x=0 és y=1 helyeken lesz minimuma, értéke 3 (csak úgy, mint előző hozzászólásomban).