Hogyan határozzam meg ezt az értéket?

Legyen S = (a+b)/(c+d) + (a+c)/(b+d) + (a+d)/(b+c) + (b+c)/(a+d) + (b+d)/(a+c) + (c+d)/(a+b)

Elvégezzük a következő átalakítást minden törtnél:

(x1+x2)/(x3+x4) = (x1+x2)/(x3+x4) + (x3+x4)/(x3+x4) - 1 = (x1+x2+x3+x4)/(x3+x4) - 1

A kifejezésből (a+b+c+d) kiemelhető ugyebár:

S = (a+b+c+d)*(1/(a+b)+1/(a+c)+1/(a+d)+1/(b+c)+1/(b+d)+1/(c+d)) - 6

Itt ezt egy kicsit félretesszük. Vegyük most a másik egyenletet: a/(b+c+d)=b/(a+d+c).

Beszorozva a nevezőkkel, egyoldalra rendezve: a^2-b^2+ac+ad-bc-bd.

Kiemelve (a-b)-t: (a-b)*(a+b+c+d) = 0. Mivel ezt minden egyes egyenletre fel lehet írni, így vagy a=b=c=d, vagy a+b +c+d=0.

Legyen a+b+c+d=0. Ekkor S = 0*(...)-6, azaz S=-6.

Legyen a=b=c=d. Ekkor S = (4*a)*(6*(1/2a))-6, azaz S=6.

Tádá!