Mire jók a komplex számok? Hogyan kell értelmezni őket?

Ha a valós számokat egy számegyenesként fogod fel, akkor a komplex számok felfoghatóak egy koordináta rendszerként, ahol az x tengely a valós tag, az y pedig a képzetes tag.

Egyébként programozásban max jelfeldolgozás esetén fogod használni, máskor nem.

Ajánlom a Mateking oldalt, nekem az segített megérteni az egyetemi matek döntő részét.

Szerintem inkább történetileg a legkönnyebb megérteni hogy alakultak ki és mi a mögöttes józan paraszti ész.

Eredetileg az (ős)emberek az ujjaikkal számoltak és a fejükben is a számkoncepció a természetes számokra korlátozódott, azaz amit meg tudtak számolni fizikailag, darabra. Aztán ahogy elkezdtek összeadni nemsokára szükség lett a megfordításra is, azaz kivonni. És így kialakult az egész számok koncepciója, mert amikor nagyobb számot vontak ki valamiből, akkor valahogy el kellett nevezni vagy képzelni a darabok hiányát. Tehát hogy a kivonásnak értelme legyen kitalálták a negatív számokat. Tehát kiterjesztették a számtartományukat, mert szükség volt rá, hogy bizonyos műveleteket értelmezni lehessen.

Aztán utána "megtanult" az ember szorozni és osztani. És amikor nem volt meg egész számszorosan meg az osztásnál valami, ezt is valahogy jelölni kellett és elképzelni. Ezért kitalálták a tört számokat, azaz két egész szám hányadosát. Most már a racionális számok halmazán mozogtak. Megint csak ki kellet bővíteni a számtartományt, hogy lehessen egy új műveletet értelmezni.

Aztán előjöttek a geometriában problémák a négyzet átló hosszának kifejezésénél, hogy az a hossz nem írható fel törtekkel, meg ugyanúgy a körnél a körív és az átmérő aránya sem jön össze két egész szám hányadosaként. Az előbbinél a gyökvonás miatt kellet valahogy értelmezni a gyök 2-t, utóbbinál a pi-t, amik nem írhatók fel törtszámokként. Tehát megint csak ki kellett bővíteni a számtartomány az irracionális számokkal, hogy ezeket a műveleteket, eredményeket valahogy jelölni, értelmezni lehessen. És így kaptuk a valós számok tartományát.

Aztán a következő gond akkor jelentkezett, amikor pl. különböző másodfokú egyenleteknél a gyök alatt negatív szám volt. Eredetileg a gyök a négyzetre emelés inverze volt, tehát értelmezhetetlen a negatív szám gyöke, mert nincs olyan valós szám, amit négyzetre emelünk és negatív lesz. De egy csomó ilyen egyenlet volt, amit ki akartak mégis számolni valahogy, hogy értelmezhető legyen a gyöke. Ezért, - szerintem már magadtól is kitalálod - itt is csak kibővítették az értelmezett számtartományt a komplex számokkal, hogy lehessen az egyenletnek megoldása, gyöke. Azaz olyan számokat alkottak a valós számokon felül, olyan jelölést és értelmezést találtak ki, amiknek a négyzete negatív szám lesz . Ezzel jutottunk el a komplex számok halmazához. Egyszerűen a műveletek miatt volt szükség ezekre a bővítésekre, hogy értelmezni lehessen, elvégezni őket és kiszámolni az eredményüket.

Az utóbbi komment kihagyta azt a lényeges momentumot, hogy konkrétan mire is találták kis a komplex számokat:

A HARMADFOKÚ egyenlet megoldásában versenyek voltak a 16. században. Az nyert, aki hamarabb megoldotta az adott egyenletet.

Pl. az (x-1)(x-3)(x-5)=0 egyenlet megoldásai ugye 1, 3 és5.

De ha felbontva adjuk meg:

x^3-9x^2+23x-15=0,akkor nem nyilvánvalók a megoldások.

Na most az egyik ilyen versenyző (Tartaglia) rábukkant vmi szabályra, amivel meg tudta oldani a nehezebbeket is. Ez titokban maradt, mivel pénzdíjasok voltak a versenyek.

Persze később kiderült a formula, és Cardano tisztázta a dolgot. Az ő képletében kellettek ezek a bizonyos imaginárius számok.

Na most jön a lényeg:

az érdekes az, hogy épp azokban az esetekben kellenek a komplex számok, amelyekben mindhárom megoldás valós szám!

Tehát szükségszerűen ki kellett mozdulni a valósok közül a komplex számsíkba, hogy a végén akár valósokat kapjunk.

Vagyis nem "úri huncutságból" találták ki.