A 0,9999 végtelen tizedes tört tényleg egyenlő 1-gyel?

#19: > Nem egyenlők, mert a "0.9999..." nem egy szám.

De. Ez egy valós szám, racionális szám, azon belül egy végtelen tizedes tört. Sőt egész szám, bár pont erről megy a vita, hogy az-e. A π, vagy az „e” is egy szám, attól függetlenül, hogy végtelen sok számjegyből áll, ráadásul még csak nem is szakaszos, nem racionális számokról, sőt transzcendes számokról van szó.

A 0,5 is szám, de pl. hármas számrendszerben tizedestört – akarom mondani harmadostört? – alakban felírva pl. végtelen tizedes/harmados tört lesz: 0,111…. Fordítva is így van, a 0,333… tízes számrendszerben végtelen tizedes tört, de 3-as számrendszerben véges alakban írható fel: 0,1.

Az, hogy egy szám végtelen tizedes tört, végtelen szakaszos tizedes tört alakban írható fel, az csak az adott számrendszerbeli reprezentációjáról mond el bármit is. Ez viszont teljesen független a szám értékétől.

Igen, az általánosan használt matemtikai rendszerben a kettő egyenlő.

Persze mindig vannak más modellek, más próbálkozások.

Létezik egy olyan kategória, hogy "hipervalós számok", ami elfogadja a végtelenül nagy vagy végtelenül kicsi számok létezését. Ebben a kettő nem lenne egyenlő, hanem az egyik egy végtelenül kis mennyiséggel több.

Hasonló végtelennel foglalkozó megközelítés a kardinális számok.

De ezekhez bizonyos speciális kikötésekre van szükség, amik ezeket megendedik.

> Az, hogy egy szám végtelen tizedes tört, végtelen szakaszos tizedes tört alakban írható fel, az csak az adott számrendszerbeli reprezentációjáról mond el bármit is.

Valójában kizárólag a számtól függ hogy végtelen tizedes tört vagy végtelen szakaszos tizedes tört, a számrendszertől pont nem.

> Valójában kizárólag a számtól függ hogy végtelen tizedes tört vagy végtelen szakaszos tizedes tört, a számrendszertől pont nem.

Ugyanannak a számnak – mint értéknek – a végtelen, vagy véges tizedes tört jellege a számrendszertől függ.

10-es számrendszer: Ahol a különböző helyiértékeken szereplő számjegyeket 10 egész hatványaival megszorozva kapjuk:

123,456 = 1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 + 4*10^(-1) + 5*10^(-2) + 6*10^(-3) = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,05 + 0,006

3-as számrendszer: Ugyanez, csak ott három számjegy van (0,1,2) és ezeket 3 egész hatványaival megszorozva számoljuk

120,12 = 1*3^2 + 2*3^1 + 0*3^0 + 1*3^(-1) + 2*3^(-2) = 1*9 + 2*3 + 0 + 1*(1/3) + 2*(1/9) = 15.555555…

Nota bene ugyanaz az érték 10-es számrendszerben végtelen tizedes tört, 3-as számrendszerben meg véges.

Ez tl;dr lett. Csak megjegyeztem hogy éppen ellenkezőleg van, mint ahogy írod. És mert érdemes kimondani, hiszen egy érdekes tény.

(Azzal együtt kiegészítve persze, hogy

* tetszőleges számrendszerben a végtelen szakaszos (vagy véges) számok pontosan megegyeznek a racionális számokkal és a végtelen nem szakaszosak az irracionális számokkal

* minden pozitív véges tizedestört alakú számnak van ugyanabban a számrendszerben végtelen tizedestört alakja is (pl 0.325-nek 0.3249999)

* minden nem egész racionális számhoz létezik olyan számrendszer amelyben nincsen véges tizedestört alakja (?)

)

-- -- -- -- -- -- -- -- -- --

Hogy a kérdésre is válaszoljak:

> Iskolában tanultunk egy egyenletet ami alapján tényleg egyenlő

Nem tudom mi az az egyenlet, de valószínűleg nem sok teteje van, pláne "bizonyítás"-nak nem használható. Nem vesztesz vele sokat, ha úgy tekinted hogy a két jelölés ugyanazt a számot takarja. (Ahol persze fogalmad sem lehet hogy mi az hogy "szám" egyáltalán)

Ha

> 0.999999 = 1

(> 0.00..01= 1)

akkor első blikkre konzisztens rendszert kapsz, ahol bátran számolhatsz tizedestört alakokkal is, anélkül hogy ellentmondást (vagy bármi antiintuitív eredményt) kapnál).

(Például a 3*1/3=1 egyenlet működni fog tizedestörtekkel is, ez egy jó dolog, nem?)

Persze nem csak azért jó mert nem jutsz ellentmondásra. Ha megnézed hogy hogyan definiáltátok annó a végtelen tizedestörteket (például a Pi-t), akkor azt kapod hogy a definíciót alkalmazva a 0.999 végtelen tizedestörtre éppen az 1 számot kapod. (ez utóbbiban nem vagyok biztos)

> minden nem egész racionális számhoz létezik olyan számrendszer amelyben nincsen véges tizedestört alakja

Hát de ezzel pont cáfolod azt, hogy az adott számrendszerben leírt alakjának azon tulajdonsága, hogy véges, vagy végtelen tizedes tört, az nem függ attól, hogy történetesen milyen számrendszerben írtuk fel. Az 1/3 az egy szám, tízes számrendszerben végtelen tizedes tört, 3-as számrendszerben meg véges.

Annyiban igazad van, hogy ha egy szám irracionális, akkor valóban bármilyen számrendszerben is próbáljuk felírni, nem írható le véges számjeggyel, ami némi kis gondolkodás után könnyen belátható, hiszen ha véges számjeggyel felírható lenne egy adott számrendszerben, az utolsó helyiérték szorzójával osztható kell, hogy legyen. (De itt nem is ez volt a kérdés, hanem az, hogy szám-e egy végtelen tizedes tört alakban felírt szám. Igen az.)

> Nem tudom mi az az egyenlet, de valószínűleg nem sok teteje van, pláne "bizonyítás"-nak nem használható.

Többféle szokott lenni:

x = 0,999…

10x = 9,999…

10x - x = 9x = 9,999… - 0,999… = 9

x = 1

A másik:

x = 1/9 = 0,111…

9x = 9 * 0,111… = 0,999…

De:

9x = 9 * 1/9 = 1

Az elsőbe még valamennyire bele lehet kötni, ha valaki nem kezeli jól a végtelen fogalmát, és valami nagyon hosszú, de véges számsorra gondol, mikor végtelenről van szó. Ilyenkor jönnek elő azok az érvek, hogy „de hát az utolsó számjegynél”. Nincs utolsó számjegy. Ha lenne, véges lenne. De nem véges, hanem végtelen.

Meg ilyen érvek is előjönnek, hogy de hát a különbség nem nulla, hiszen a különbség sok-sok nulla és utána egy egyes. Vagy még hajmeresztőbb, mikor azt mondja valaki, hogy végtelen sok 0 és utána egy 1-es. De a végtelennek nincs vége, ezért hívjuk végtelennek, így nincs egy olyan számjegy ami után tudnád írni az az 1-est.

A valós számok halmazának egyik konstrukciója azon alapul, hogy a racionális számok halmazát, mint metrikus teret teljessé tesszük. Az eljárás során az új tér elemei a metrikus tér Cauchy-sorozatai lesznek, olyan módon, hogy az ugyanoda konvergáló sorozatokat azonosítjuk.

Például a tízes számrendszerben felírt 0,999 valós szám a (9/10,99/100,999/1000,9990/10000...) racionális sorozatot ábrázolja. Ezek alapján látható, hogy a tízes számrendszerben ábrázolt 0,999... valós szám (9/10,99/100,999/1000,9999/10000...) mint sorozat

az (1,1,1,1...) sorozathoz hasonlóan az 1 racionális számhoz konvergál, tehát a konstrukció miatt ugyanazt a valós számot ábrázolják.