A 0,9999 végtelen tizedes tört tényleg egyenlő 1-gyel?

Egyenlőek eggyel.

Gondolom valami ilyesmi volt az egyenlet:

1 = 9 * 1/9 = 9 * 0,111… = 0,999…

Mivel a 9*0,111… esetén mindig 9 lesz az eredmény, akárhányadik számjegyet is nézed, soha nem lesz áthozott számjegy, ahogy a szorzást végzed.

1 = 0,999…

Ahogy Mojjo utalt rá, nem tudsz mondani olyan számot, vagy módszert egy olyan szám konstruálására, ami 0,999… és 1 közé esik, tehát a két szám azonos, a különbségük 0.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Gyakori hozzászólás és vita tárgya, hogy a 0,999… egyenlő-e ténylegesen eggyel, vagy csak konvergál (közelít) hozzá. Konvergálni egy számsor tud. Igen, minél jobban közelít a 9-esek száma a végtelenhez, annál jobban közelít az így leírt szám az 1-hez. Az 1 és a 0,99…9 különbsége annál jobban közelít a nullához.

De itt nem közelít a végtelenhez a 9-esek száma, hanem konkrétan végtelen számú 9-esből áll. Így az értéke sem közelít 1-hez, hanem konkrétan 1-el egyenlő. A különbség sem közelít a nullához, hanem konkrétan nulla.

Írjuk át a 0,999999...-et két szám hányadosaként.

Legyen x=0,999999... Ekkor 10x=9,99999999. Vonjuk ki őket egymásból:

10x-x=9,999999...-0,999999...=9

9x=9

x=9:9=1

Tehát 0,999999...=1

Ha egyenlőek lennének, akkor az 'x tart 1'-hez kifejezés is egyenlő lenne 1-gyel. De nem egyenlő. Sőt a fenti szám nem is egy konkrét érték, és a véges számok műveleteit is csak feltételekkel használhatjuk rajta.

Az előző okfejtés is ott hibázik, hogy amikor 10-zel szorozzuk, akkor a tizedesek száma változni fog, mert maga a művelet véges számokkal dolgozik. Persze mondhatjuk, hogy úgyis végtelen tizedes, mindegy mennyi 9-es van ott, de mivel "végtelen" szám nem létezik, ezért komoly baki mégis így tekinteni rá egy műveletnél. A 0,999999... és a 9,999999... tizedeseinek "száma" nem fog megegyezni, vagy ha végtelennek tizedesnek vesszük mindkettőt (miközben ugyanannyi 9-esnek kell lennie bennük), akkor meg pontatlan lesz az eredmény, és pont ez adja a hibás eredményt.

@13: olvass vissza. Már írták többen, hogy itt nem tart semmi semmihez. Az 1 és a 0,9999... szimplán ugyanannak a számnak a kétféle leírási módja. Ha nem hiszed, do some research, de ne vidd tévútra a kérdezőt. Még wiki szócikk is van róla:

[link]

"In other words, the symbols "0.999…" and "1" represent the same number."

@10: Mi az, hogy a művelet véges számokkal dolgozik? Ez egy teljesen korrekt szám. Sőt, végesen felírható:

r=\lim_{n\to\infty}\left(9\cdot\sum_{i=1}^{n}10^{-i}\right) Nos, ez a határérték pontosan egy, műsrészt a szám 0,99999... alakú.

Másképpen r=lim_{n\to\infty}\left(1-10^{-n}\right), és újfentebb azt kapjuk, hogy r=1, ugyanakkor a szám alakja most is 0,9999..., ami a kérdésre is válasz.

De ha tizedestörtként akarjuk felírni, akkor triviális, hogy \frac{s}{9} alakú, ahol s a szokásos módon számolható, amiből adódik, hogy s=9, és \frac{9}{9}=1.

#13:

> Ha egyenlőek lennének, akkor az 'x tart 1'-hez kifejezés is egyenlő lenne 1-gyel.

Egy lim[n→∞] sum[i=1→n] 9/10^(-i) – azaz 0,9 + 0,09 + 0,009,+ … – valóban határérték, ami azt fejezi ki, hogy ahogy n tart a végtelenhez, úgy tart ez a határérték egyhez. De még egyszer: Ez nem határérték. A 9-esek száma nem !tart! a végtelenhez, hanem !konkrétan! végtelen maga a tizedes tört. Nem az a helyzet, hogy lim[n→∞], hanem az, hogy n=∞.

> és a véges számok műveleteit is csak feltételekkel használhatjuk rajta

Ha valóban egy végtelen sorozat összegéről lenne szó akkor jogos meglátás lenne, de ott is vannak feltételek. Pl. egy divergens sorozat elemeit nem lehet szabadon átcsoportosítani az összegzés során. De ez – még ha hibásan sorozatként is néznék – nem divergens sorozat, és nem végeztünk semmilyen nem megengedhető műveletet. Kizárólag véges számú számot adtunk, szoroztunk például össze, még ha ez felírva egy végtelen tizedes tört történetesen.

> Persze mondhatjuk, hogy úgyis végtelen tizedes, mindegy mennyi 9-es van ott, de mivel "végtelen" szám nem létezik, ezért komoly baki mégis így tekinteni rá egy műveletnél.

Pont ezt mondjuk, hogy végtelen tizedes törtről van szó. Igen, a végtelen nem szám, hanem jelleg, nem kezelhető számként. De ettől még a végtelen mint fogalom létezik, és jelen esetben ez a jellemzője a 0,999… szám számjegyeinek. De itt nem is számoltunk a számjegyek számával, nem kezeltük sehol a végtelen jellegét számként.

> A 0,999999... és a 9,999999... tizedeseinek "száma" nem fog megegyezni

Gondolom itt 0,9… és 0,999… jellegű eltérést próbáltál szemléltetni, csak a GYK a 6-nál több azonos karakter ismétlődését levágja. Ha véges a … helyére kerülő 9-esek száma, akkor valóban nem fog egyezni. Ha viszont végtelen, akkor egyezni fog . Mindkettő megszámlálhatóan véges 9-est tartalmaz, az adott helyiértéken szereplő értékek ugyanúgy egy ℵ₀ számosságú halmazt alkotnak, tehát azonos számosságról van szó, hiszen az ℵ₀ számosságot nem lehet se összeadással, sem szorzással, de még hatványozással sem elhagyni.