Hogyan kell megoldani ezt a szoveges feladatot?

Hányadikas vagy?

Ha már középsuli felé közeledsz, akkor így oldanám meg:

X+(1240+X)+(530+X)=3450

A szöveges feladatok lényege, hogy neked kell kitalálnod az egyenletet, amit meg kell oldani.

Nézzük: „A mester, a seged es a tanulo egyutt 3450 lejt keresett egy munkan.” Van itt három ember, akiknek a keresete ismeretlen. Ez így kicsit sok ismeretlennek tűnik, nézzük hogyan lehetne ezt csökkenteni.

„A mester 1240 lejjel, a segd 530 lejjel kapott tobbet a tanulonal.”. Aham! Szóval ha tudnánk, hogy mennyit keresett a tanuló, akkor könnyen ki tudnánk számolni a mester és a segéd fizetését is. Tehát máris kevésbé ismeretlen az ő fizetésük, a tanuló fizetéséből könnyedén kiszámolható lenne.

Jó, akkor célszerű a tanuló fizetését ismeretlennek venni. Jelöljük ezt x-el. (Hogy miért pont x-el? Jelölhetnék más betűvel, de ez a szokás. Ennek történelmi okai vannak, a válasz végén, ha érdekel, akkor kifejtem.)

A tanuló fizetése tehát: x

Oké, akkor tudjuk, hogy a mester 1240 lejjel keresett többet, tehát az ő keresete: x+1240

A segéd meg 530 lejjel keresett többet, tehát az ő keresete: x+530

Tudjuk, hogy együtt 3450 lejt kerestek, összeadva tehát a keresetüket, 3450 lejt kell kapnunk:

x + (x+1240) + (x+530) = 3450

Kaptunk tehát egy egyenletet, amiben egyetlen ismeretlen van, amit könnyedén meg tudunk oldani, és ezzel megkapjuk a tanuló fizetését – hiszen azt választottuk x-nek, ismeretlennek –, a mester és a segéd keresetét meg a fent leírt módon ki tudjuk könnyedén számolni: x+1240, illetve x+530

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Néha nem feltétlenül magától érthető, hogy mit választunk ismeretlennek. De lényegtelen is. Pl. a mester keresetét is választhattuk volna ismeretlennek, akkor a dolog valahogy így alakulna:

A mester fizetése: x

A tanulónál a mester 1240 lejjel keresett többet, tehát a tanuló ennyivel keres kevesebbet nála. A tanuló fizetése tehát x-1240

A segéd fizetése a tanulónál 530 lejjel több, tehát az ő fizetése: x-1240+530 = x-710

Összeadva a keresetüket:

x + (x-1240) + (x-710) = 3450

Az egyenlet megoldható, természetesen más jön ki x-re, hiszen mást is jelent, nem a tanuló, hanem a mester keresetét, de az egyes emberek keresete ugyanannyinak fog adódni a végén.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

De amúgy három ismeretlent is használhatsz, akkor kapsz három darab, három ismeretlenes egyenletrendszert:

m = t + 1240

s = t + 530

t + m + s = 3450

Behelyettesítéssel megkapod az első megoldásnál kapott egyenletet:

t + m + s = t + (t+1240) + (t+530) = 3450

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

És egy érdekesség, miért jelöljük x-el az ismeretlent. Az algebrát az arabok dolgozták ki részletesen, tőlük vettük át, a neve is arab eredetű, a „Kitáb al-Dzsabr va l-Mukábala” (dzsabr: összeilleszkedés, újraegyesítés) című értekezésnek a címéből származik. Előtte Európában nem számoltak ki általános dolgokat, a számtan leginkább konkrét érékek, számok összeadását, kivonását, szorzását, osztását jelentette. Volt persze valami algebraszerű valami, de nem volt hozzá jól kidolgozott jelölés, inkább szóban írták le ezeket. Az arab nyelvben a „salan” (arab betűkkel شيء) jelentése: valami, egy meghatározatlan, ismeretlen dolog. A spanyolok kezdték fordítani a szöveget. A szövegben gyakran szerepelt ez a kifejezés, és rövidíteni is akarták, valamint nem akarták lefordítani a szót, mert olyan szakszónak tűnt. De itt azzal szembesültek, hogy a „salan” szó első betűje, az ش, egy olyan – magyarban leginkább az S hangnak megfelelő – hangot jelent, aminek nincs megfelelője a spanyol nyelvben. A kor fordítási szokásainak megfelelően egy k hangot kölcsönözve egy görög khi (χ) betűvel írták le ezt a hangot, amiből aztán latin átirattal x lett.

Lehet és megengedett az ismeretlen más betűvel jelölni, de ez maradt meg szokásként.

Ha józan paraszti ésszel próbáljuk meg megoldani, akkor vegyük el a "bónuszt" a mestertől és a segédtől, ekkor összesen 3450-1240-530=1680 lejt kerestek a munkán, és mivel senki ne kap többet a másiknál, ezért fejenként 1680/3=560 lejt kaptak. Ha most visszaadjuk a bónuszt a mesternek és a segédnek, akkor 560+530=1090 és 560+1240=1800 lejt kaptak. Látható hogy minden feltétel teljesült így (a fizetések közti különbségek, és 3450 lejt kerestek összesen).

Ugyanez a gondolatmenet persze kiderül az egyenletmegoldásból is, amikor kivonunk és összevonunk, de ha nagyon bajban vagyunk, talán így is el lehet indulni.