Hogy kell megoldani? 3^x< 5^x

Ezen sokat nem kell számolni, csak el kell képzelni a két görbét: exponenciális függvények, amelyek -végtelenben a 0-hoz tartanak, az y tengelyt mindkettő az 1-nél metszi (minden szám 0-dik hatványa 1), és a pozitív oldalon egyre gyorsulva emelkednek.

Csak a meredekségük különböző: az 5^x-nek nagyobb a meredeksége, tehát az y tengelytől jobbra lesz ez nagyobb, mint a másik, tehát a megoldás x>0.

3^x<5^x

ln(3^x)<ln(5^x)

Ez megtehető, mert az ln függvény szigorúan monoton, valamint 3^x és 5^x mindig pozitív

xln3<xln5

0<(ln5-ln3)x

Egy szorzat akkor pozitív, ha mindkét tényezője pozitív.

Mivel ln5-ln3 pozitív, szükséges, hogy x>0 legyen

Vagy ki is lehet számolni közös alapra hozással, pl. legyen 'e' a közös alap, de bármilyen szám lehet.

3=e^ln3

5=e^ln5

(e^ln3)^x < (e^ln5)^x

Hatványozás hatványozásánál a kitevőket össze lehet szorozni:

e^(ln3*x) < e^(ln5*x)

Az e^akármi mindig pozitív, tehát lehet venni a logaritmusát mindkét oldalnak, magyarul eltüntetjük az e^-ot:

ln3*x < ln5*x

Innen már nyilvánvaló, mert ln3 és ln5 is konstans, ezért ez két lineáris függvény, akkor nagyobb a jobb oldal, ha x pozitív.