Hogyan tudom kiszámolni, hogy melyik az a legkisebb szám, amelynek pontosan 20 osztója van? Részletesen le tudná nekem valaki írni és elmagyarázni?

20=5*4.

A p^4*q^3 számban a p-eseket 5, a q-asokat 4-féleképpen oszthatjuk szét a párban álló osztók között, ha p<q. A 2 és 3 a két legkisebb p, q prímszám.

2^4*3^3=432.

Általánosan:

Egy N szám prímtényezős felbontása legyen N=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*px^ax. Ekkor az osztóinak a száma (a1+1)*(a2+1)*...*(ax+1), vagyis a "prímkitevő plusz egy"-ek szorzata.

Ez a szorzat, tegyük fel, hogy K (esetedben 20, de én most általánosan mondom), a kérdés, hogy mi lehetett N, és ezekből kell a legkisebb jó megoldást megtalálni. Ez két részből áll: K-ból meghatározzuk az "a" kitevőket; és a kitevőkhöz hozzárendeljük a "p" prímeket.

Ez utóbbi lépés nyilvánvaló, hiszen a lehető legkisebb prímeket fogjuk kijelölni a kitevők alá: a legnagyobb kitevőhöz a 2-t, a második legnagyobbhoz a 3-at, utána az 5-öt, 7-et, stb... ahány kitevő van.

A kérdés tehát csak annak eldöntése, hogy a "kitevő plusz egy"-ekből hány darab van, és mik ezek (mert ebből már egyértelmű a legjobb kreált N szám). Mivel a "kitevő plusz egy"-ek szorzata kell, hogy egy fix K számmal legyen egyenlő (itt 20-szal), ezért a K-t kell az összes lehetséges módon szorzatként felírni.

A szorzatban értelemszerűen nem lehet 0 vagy negatív szám. Nem lehet benne továbbá 1-es sem, a következő megfontolásból. Amikor a legjobb N-et kiszámolnád az adott kitevősorozatra, "kitevő plusz egy"-ek legvégén jönnének a "kitevő plusz egy"=1 esetek, amelyeknél maga a kitevő 0. Pl. K=120=4*5*6*1, ebből az N=2^(6-1)*3^(5-1)*5^(4-1)*7^(1-1), de 7^(1-1)=7^0=1, tehát az el is hagyható a szorzatból. Ezért nincs értelme 1-eseket sem használni.

Marad tehát, hogy K-t 1-nél nagyobb számok szorzataként írjuk fel, az összes lehetséges módon, és ezek közül a legjobb N-et adó megoldást választjuk.

A K=20 esetében összesen az alábbi felbontások jönnek szóba: 20, 10*2, 5*4, 5*2*2, ezek rendre az alábbi N-eket adják: 2^19=524288, 2^9*3^1=1536, 2^4*3^3=432, 2^4*3^1*5^1=240. Ezek közül a 240 a nyerő.