Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege páratlan, és a nála eggyel nagyobb szám számjegyeinek összege is páratlan?

ma 15:25

Leülhetsz fiam! Egyes!

119-120 az első páros és még utána jön pontosan 40 db!

Tantóbácsi kérem, ellenvéleményem van! :-)

Ugyanis:

Legyen a szám

A0 = abc

Azt már leírta valaki, hogy c = 9 kell legyen ezért

A0 = ab9

A számjegyek összege

S0 = a + b + 9

Az eggyel nagyobb szám

A1 = ab(c+1)

Mivel a (c+1) = 10, átvitel keletkezik, ezért a számjegyek összege

S1 = a + b + 1 + 0

A feltétel szerint mindkét összeg páratlan szám, vagyis írható

S0 = a + b + 9 = 2n + 1

S1 = a + b + 1 = 2m + 1

ahol n, m ≥ 1 pozitív egész szám

tehát

a + b = 2n - 8

a + b = 2m

Az 'm' felső határa abból a feltételből határozható meg, hogy 'a' és 'b' max 9 lehet, így

2m ≤ 18

m ≤ 9

Az a + b = 2m-ből

b = 2m - a

Nincs más hátra, mint 'm' lehetséges értékeihez hozzárendelni 'a' és 'b' értékeit

Mivel

a ≤ 9

A 'a' határai, 1 ≤ a ≤ 2m, illetve ha 2m > 9, akkor 2m-9 ≤ a ≤ 9

m = 1

b = 2 -a

a = 1 b = 1

a = 2 b = 0

m = 5

b = 10 - a

a = 1 b = 9

a = 2 b = 8

a = 3 b = 7

a = 4 b = 6

a = 5 b = 5

a = 6 b = 4

a = 7 b = 3

a = 8 b = 2

a = 9 b = 1

m = 9

b = 18 - a

a = 9 b = 9

Mivel nem volt kikötve, hogy az eggyel nagyob számnak is 3 jegyűnek kell lennie, ezért a

999 - 1000 pár is megoldás

A megoldások száma egy olyan számtani sor összege, melynél

a1 = 1

d = 1

n = 9

így

Sn = 45

======

tehát 45 szám felel meg a feladat feltételeinek.

DeeDee

***********

Arra fáradt vagyok most, hogy a levezetésedet végiggondoljam, de valahol biztosan hibás, mivel az alábbi 41 db számpár a megoldás. Nagyon elcsodálkoznék rajta ha tudnál mondani még 4 másikat vagy akár csak egyet is!

119 120

139 140

159 160

179 180

209 210

229 230

249 250

269 270

289 290

319 320

339 340

359 360

379 380

409 410

429 430

449 450

469 470

489 490

519 520

539 540

559 560

579 580

609 610

629 630

649 650

669 670

689 690

719 720

739 740

759 760

779 780

809 810

829 830

849 850

869 870

889 890

919 920

939 940

959 960

979 980

999 1000

Valóban 41 szám van, és rájöttem, hol keletkezett nálam a plusz négy szám, csak azt nem sikerült még kideríteni, miért nem működik tökéletesen a gondolatmenetem, illetve mi hiányzik ahhoz, hogy tökéletes megoldást adjon. :-)

DeeDee

*******