Igaz-e, hogy bármely 1-nél nagyobb köbszám megadható két négyzetszám különbségeként?

Szerintem igaz

Páratlan köbszámok:

A szomszédos négyzetszámok különbsége mindig páratlan szám, méghozzá úgy, hogy ahogy haladunk sorban a nagyobb négyzetszámok felé, úgy a különbségek sorban az egymást követő páratlan számokat adják ki. Bizonyítás:

Az n+1 - edik és az n - edik négyzetszám különbsége.

(n+1)^2 - n^2 = n^2+2n+1 - n^2 = 2n+1

Azaz mindig páratlan, és ha n-et egyel növelem, a következő páratlan számot kapom. Tehát bármilyen páratlan szám köbe is előállítható két négyzetszám különbségeként.

Páros köbszámok:

Csináljuk meg ugyanezt úgy, hogy nem a szomszédos négyzetszámok, hanem az adott (n-edik) négyzetszám és az azt kettővel követő négyzetszám (n+2-edik) különbségét vesszük.

(n+2)^2 - n^2 = 4n+4 = 4*(n+1)

Azaz ez esetben a különbség biztosan osztható 4-el, és az összes néggyel osztható számot létre lehet így hozni. Márpedig egy páros köbszám biztosan osztható néggyel (sőt, nyolccal is). Tehát az összes páros köbszámot létre lehet így hozni.

Nem egészen értem, hogy az 1 miért lett kizárva, mivel 1=1-0, tehát az 1 is felírható.

A 0 szintén felírható, bár ezt sokkal egyszerűbb megmutatni.

Ami még érdekes, hogy a negatív köbszámok is felírhatóak különbségként, csak fordítva kell elvégezni a kivonást (vagy a fenti levezetésben n helyére negatív egészek is írhatóak).

Szóval kicsit fura, hogy csak az 1-nél nagyobb köbszámok a kérdésesek.

#3, miért nem?

(Amiket linkeltél, azokban nincs benne ez az állítás.)

Ismered a POZITÍV szó jelentését? ...

Egyébként meg a kapott képlet n=0-ra is működik, szóval akár 0-tól is lehetne összegezni.