Miért nem lehet a 111 semmilyen számrendszerben sem négyzetszám? (Bizonyítás)

a^0+a^1+a^2=1+a(1+a)=n^2

(n+1)(n-1)=a(a+1)

tegyük fel, hogy valamelyik szr-ben négyzetszám:

a^2+a+1=n^2

szorozva 4-gyel:

4a^2+4a+4=4n^2

azonos átalakításokkal:

(2a+1)^2+3=(2n)^2

a négyzetszámok sorozatában (1; 4; 9; ...) a szomszédosak különbsége egyre nő, egy kivétellel sosem lesz 3:

csak az 1 és 4 különbsége lesz 3

ez viszont csak a=0 és n=1 esetben jön létre, de a=0 nem lehetséges, mert számrendszer alapszáma

Nem pontoztalak le, de valószínű, hogy inkább azért pontoztak le, mert miért ne...

Még be kellene azt látni, hogy ha egy A szám négyzetszám egy számrendszerben, akkor az összes többiben (vagy legalább 10-esben) is négyzetszám lesz, ha pedig nem, akkor máshol sem.

Az #1-nek hiányzik a vége, szerintem amire levezette, az nehezebb mint az eredeti feladat.

#4:

Egy x egész szám négyzetszám <==> van olyan y egész, amelyre y^2=x.

Szívesen megnézném, hogyan látod be, hogy ez a tulajdonság független attól, hogy milyen számrendszerben írjuk fel.

---

Egy másik megközelítés:

Def1: két négyzetszámot szomszédosnak mondok, ha nincsen közöttük négyzetszám.

Lemma1: két szomszédos szám négyzete szomszédos.

Biz: ha csak nemnegatív egészekre szorítkozunk, és a négyzetszám definícióját is gyengítjük nemnegatív egészek négyzetére, akkor a négyzet függvény monotonitásából adódik. Aztán vacakolás.

Lemma2: tetszőleges b bázisban a számok nagyság szerinti rendezése megegyezik azzal a rendezéssel, hogy a rövidebb string kisebb, az egyenlő hosszúakon meg lexikografikus rendezés.

Biz: n=1 hosszú stringekre igaz, n-re indukcióval.

Innen a bizonyítás:

Jelölje a számrendszer alapját b, ekkor:

: 10_b^2 = 100_b,

: 11_b^2 = 121_b.

100_b és 121_b szomszédos négyzetszámok (minden b alapra), és 100_b < 111_b < 121_b, így 111_b nem négyzetszám QED.

Ezzel azt is beláttuk, hogy

10x_b és 11x_b és 120_b sem négyzetszámok.

(A lemmákat nem bizonyítottam rendesen. Bizonyítva őket, ez a bizonyítás hosszabb, mintha számokkal dolgoznánk, de, csak úgy felhasználva őket talán valamivel rövidebb – legalábbis polinomok helyett elég csak az együtthatóikat felírni.)

Oupsz, ez csak b>=3-ra jó, b=2-re nem, azt külön meg kell nézni.

Oké, azt hiszem polinomos alakban egyszerűbb.