Az IQ csak racionális szám lehet?

> Több híres tudósról is lehet tudni, akik 100 alatti IQ-val rendelkeztek. Mégis sokat adtak a világnak.

Kik ők? Csak mert kevés tudósról tudok, aki töltött ki IQ-tesztet és az általa elért eredményt a nyilvánosság elé tárta volna.

> Arról van csupán szó, hogy ezek a tudósok nem teljesítik a reakciós társadalom által elvárt képességeket.

A képesség az képesség. Ha van, akkor van, ha nincs, akkor nincs. A „teljesítést” nem igazán értem. Arra nézve meg a társadalomnak aligha hiszem, hogy van elvárása, hogy tudd-e folytatni az 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 számsort. Márpedig az intelligencia részben pont annak a képessége, hogy képes vagy-e felismerni a számsor mögött meghúzódó mintázatot, összefüggést.

> Az eredeti kérdésemnél feltételezem, hogy az IQ egy pontosan mérhető dolog.

Emberi képességről beszélünk. Az meg egy adott pillanatban sok kisebb-nagyobb tényezőtől is függ. Gondolom te is voltál úgy hogy valami az istennek nem jutott eszedbe, pedig tudod, hogy egy napja még tudtad. Vagy éppen másnap önmagától beugrik. Az intelligencia egyik lényegét adó problémamegoldás is ilyen. Ugyanazt a tesztet lehet egyik nap 72%-ra töltöd ki, másnap meg csak 70%-ra, vagy éppen 75%-ra. Pedig a teszt ugyanaz, te is ugyanaz vagy, egy nap alatt meg nem változtak a mentális képességeid…

Ez kicsit olyan kérdés, mint felmérni, hogy ki milyen gyorsan úszik, vagy mekkora súlyt tud felemelni. A mérési eredmény – akármennyire is pontosan méred az időt vagy a tömeget – magában hordoz egy pontatlanságot, bizonytalanságot. De ennél is fontosabb, hogy lehet, hogy tegnap fel tudtad emelni a 100+x kg-ot, meg holnap is fel fogod tudni, ma meg nem megy. Vagy éppen soha nem tudtad felelni és soha nem is fogod, de ma valahogy mégis sikerül, mert ma vagy életed legjobb formájában.

Az IQ-teszt is ilyen. Nyilván valamennyire befolyásolja, hogy fáj-e a fejed, másnapos vagy-e, vannak-e magánéleti problémáid, meg hogy idegesítően szuszog-e a melletted ülő. Pontos mérésről tehát nem beszéltetünk.

Ennek ellenére azért a mérési eredmény releváns. Ahogy az is releváns, hogy Aladár fel tudta tegnap is, ma is emelni a 160 kg-ot, Béla meg életében nem bírt 100 kg-nál többet felemelni. Hogy most az átlagos, vagy a legjobb eredményt nézzük, az majdnem mindegy. Hogy most ez a 160 vs. 100 az valójában 161 vs 95 vagy éppen 167 vs 98, az is mindegy. Az jól látszik így is, úgy is, hogy nincsenek egy „súlycsoportban”. De közel azonos eredményeknél is lényegtelen. Hogy most az egyik 163 kg-ot tud felemelni a másik meg csak 161 kg-ot, és hogy másnap fordul-e a kocka, az is lényegtelen. Rakodómunkásnak mindketten jók lesznek.

Az IQ viszonyszámnak teljesen jó. De ±5–10% lényegtelen. Nem is törjük magunkat, hogy ennél sokkal pontosabban mérjünk. A 120-as IQ-jú és a 125-ös IQ-jú személyből valószínű mondjuk ugyanúgy jól programozó lesz, hogy melyik lesz jobb, az meg könnyen meglehet, hogy már nem az intelligencián múlik. Az is biztos, hogy egy 120-as IQ-jú, meg egy 90-es IQ-jú ember között meg jól érzékelhető különbség lesz.

#21, a világon NEM LÉTEZIK olyan dolog, ami pontosan mérhető lenne. Minden csak bizonyos hibahatáron belül mérhető, és ez a hibahatár csökkenthető a minél pontosabb mérési eszközökkel.

Például ha megmérsz valamit egy milliméteres beosztású mérőszalaggal, és 135 mm-t mérsz, az valójában valahol 134 és 136 mm között van. Ha nóniusz skála van elhelyezve a mérőszalagon, akkor tizedmilliméteres pontosságot tudsz elérni, de ha 135,2 mm-nek méred, az valójában 135,1 és 135,3 között van. És ezt lehetne a végtelenségig folytatni.

Szóval már az alapvetés is problémás az eredeti kérdésednél.

Egyébként csak nekem fura, hogy alapvető dolgokon (illetve azok létén) problémázol?

> Lehet-e az ember 2pi éves?

Ha már az elvonatkoztatást, absztrakciót kéred számon, akkor természetesen lehet valaki 2π éves. A számegyenest valós számok alkotják. Ezek egy része racionális (azon belül akár egész) számok, egy részük meg irracionális szám. Ha az ember lehet 6 éves és lehet 7 éves, akkor a kettő között valamikor szükségszerűen volt egy olyan időpont, amikor 2π éves volt.

Sőt, mivel a racionális számok számossága ℵ₀, az irracionális számok számossága meg ℶ₁, így végtelenszer nagyobb eséllyel fejezi ki pontosan az ember életkorát irracionális szám, mint racionális szám. Nem teljesen korrekten megfogalmazva, nullához konvergál az esélye annak, hogy valakinek az életkora egy adott időpillanatban racionális szám. Így az elvonatkoztatás szintjén a gyerekkori IQ esetén is nullához konvergál az esélye, hogy valakinek az IQ-ja racionális szám.

> Most te ehhez feltételezed, hogy az ember a számegyenesen öregszik.

Nem feltételezem. A szám egy absztrakt fogalom, amit valós összefüggések alapján *definiáltunk*.

> Eleve teljesen hibás azt feltételezni, hogy a folytonosság azt jelenti, amit a matematikusok akarják, hogy jelentsen.

Hogy mit jelent a folytonosság, az is definíciós kérdés. Lehet persze új definíciókat használni, de nem célszerű akkor olyan nevet adni neki, aminek a jelentése már közismert és konszenzusos. Rombusznak pl. azt a négyszöget nevezzük, aminek az oldalai azonos hosszúságúak. Definiálhatsz más fogalmat, pl. mondhatod azt, hogy te olyan négyzetekről akarsz értekezni, amiknek az oldalai párhuzamosak. De ennek célszerű más nevet – mondjuk a paralelogramma nevet – adni, és elégé célszerűtlen azt mondani, hogy márpedig az a rombusz, aminek az oldalai párhuzamosak, és nem az, amit mindenki más annak hív.

~ ~ ~

> Eleve kérdéses, hogy mi alapján feleltetitek meg a geometriai egyenes fogalmát az aritmetikai valós számok fogalmával.

Ez egy egyszerű kérdés is, de bonyolult kérdés is.

Az geometriai objektumoknak van mérete. A szakasznak van hossza, a szögnek is van „mérete”, a területnek is van nagysága stb…. A geometriának magának meg vannak axiómái, pl. az euklideszi geometriában pl. ilyen axiómák vannak: [link]

Ebből némi logikus gondolkodással belátva el lehet jutni addig, hogy ha – önkényesen – felveszünk egy szakaszt, és azt mondjuk, hogy ennek a szakasznak a hosszát 1-nek tekintjük, akkor bármilyen szakasz hossza számszerűsíthető.

A legegyszerűbb eset, mikor egy szakasz hossza egész. Ha egy egyenesre 4-szer egymás után felmérem az egységszakaszt, és az így kapott szakasz illeszkedik a megmérendő szakaszra, akkor ennek a megmérendő szakasznak a hossza 4 egység. Ez a legegyszerűbb eset, mert itt tényleg az alapszakaszok darabszámáról van szó.

Némi extra kört igényel, ha a szakasz hossza nem egész racionális szám. Ha veszem az alapszakasz hosszának az 1/4-ét, és ezt mérem fel az egyenesre 3-szor egymás után, és így kapok azonos hosszúságú szakaszt a megmérendő szakasszal, akkor ennek a megmérendő szakasznak a hossza 3/4 egységnyi lesz.

Úgy általában az aritmetikai műveletek megfeleltethetők egyszerűbb, alapvető geometriai transzformációknak. Nem is csoda, hiszen a geometria is szegről végről mennyiségekkel való operációról szól, ahogy almákkal is lehet aritmetikát csinálni, úgy egységnek választott szakaszokkal is.

~ ~ ~

És itt akkor egy kis történelmi kitekintés. Anno Püthagorasz nagyon mélyen foglalkozott a számokkal, és azon belül nagyon sokat az arányokkal. Ez részben mai értelemben vett matematika is volt, de részben filozófiai eszmefuttatások alapja is volt. Ennek egy fő aspektusa volt, hogy a természetben minden meghatározható arányok segítségével. Kvázi a számokról Püthagorasznak olyan elképzelése volt, hogy minden racionális szám.

Püthagorasz eredményeire is alapozva aztán későbbi gondolkodók nagyon sokat foglalkoztak az aritmetikával. Volt persze az ókorban is, aki geometriával foglalkozott, de valahogy mégis az aritmetika vált a matematika meghatározó ágává.

Csakhogy ott van az a fránya kör, meg az a fránya négyzet. Eljutottak addig, hogy sikerült bizonyítani, hogy az egységoldalú négyzet átlója nem írható fel két véges egész szám hányadosaként. Ennek a bizonyítása viszonylag egyszerű és jól megérthető: [link]

Ezek szerint nem lehet a világot teljes egészében egész számok arányaival leírni. Meg is csappant az aritmetika iránti érdeklődés, és a matematika hangsúlya eltolódott a geometria irányába. Mert lehet, hogy a √2 nem írható fel egész számok hányadosaként, viszont könnyedén megszerkeszthető egy szakasznak a √2-szerese.

~ ~ ~

És akkor kanyarodjunk vissza oda, hogy az egységszakasz oldalhosszúságú négyzet átlója hányszorosa az egységszakasznak. Nyilván a négyzet átlója megszerkeszthető. Ez egy szakasz. Van neki hossza. Meg lehet nézni, hogy ez a szakasz bizony hosszabb az egységszakasznál, de rövidebb az egységszakasz duplájánál. Tovább vizsgálódva kiderül, hogy a négyzet átlója hosszabb, mint az egységszakasz 4/3-a, de rövidebb, mint az egységszakasz 3/2-e. Tehát ennek a szakasznak a hossza ugyan nem írható fel egész számok hányadosaként, de létező hosszúság, létező szám, és bármelyik racionális számmal összehasonlítható, így elhelyezhető a racionális számok „közé”.

Fussunk neki még egyszer, de most élő példával. Gondolom addig azért csak megvan, hogy az embernek van egy intuitív, naiv fogalma a mennyiségekről. Kvázi minden kultúrában, minden korban megvan a természetes szám koncepciója az ember fejében. Amit megtanul a szüleitől az nem ezeknek a mennyiségeknek a koncepciója, hanem maximum az, hogy a különböző mennyiségeket hogyan nevezze meg. Sőt még az állatok egy részénél is lehet látni, hogy van valamiféle mennyiség fogalmuk.

Van egy alma. Van két alma. A két alma több, mint az egy alma. Egy almát és még egy almát egymás mellé téve (összeadva) két almát kapunk. Ha négy almából elveszünk kettőt, akkor három alma marad a tálban stb…

Ha a 2 éves Pistike szereti a csokigolyót, akkor azt a tálkát fogja elvenni, amiben szemmel láthatóan több csokigolyó van. Ha elveszel a tálkából egy csokigolyót, akkor Pistike sírva fakad, ha teszel a tálkába még egy csokigolyót, akkor Pistike nevetni fog, ha meg egy egész tálkával öntesz az ő tálkájába, akkor meg ujjongni fog.

Remélem eddig tudod követni a 2 éves Pistikét.

~ ~ ~

Pistike a 3. születésnapjára kap egy fa vasútkészletet. Egy ilyet: [link]

Pistike hamar rájön, hogy a kocsik, mozdonyok, szerelvények hosszúsága ugyanakkora. Igen, az egyik egy emeletes vasúti szerelvény, a másik meg egy pőrekocsi, a magasságuk esetleg még a szélességük is különbözik, de a hosszuk ugyanaz. Rájön arra is, hogy különböző hosszúságú sínszakaszokat tud építeni. Pistike itt is már képes elvonatkoztatni attól, hogy a sínnek van szélessége, meg vastagsága, sőt vannak egyenes, meg görbe síndarabok és képes kizárólag a sín hosszát figyelembe venni. Pistike már 3 éves, képes elvonatkoztatni a vizsgálódása szempontjából lényeges tulajdonságokat – a szerelvények, sínszakaszok hossza – a vizsgálódása szempontjából lényegtelen tulajdonságoktól – mint pl. a szerelvény magassága, a sín vastagsága, a szerelvény színe, anyaga stb… – Pistike képes absztrahálni a valóságot.

Remélhetőleg eddig tudod követni Pistikét.

~ ~ ~

Pistike aztán játszik a vasútkészlettel, és mondja is anyának, hogy a hídon 4 szerelvény fér el. Nyilván Pistike még nem ismeri a matematikai alapfogalmakat, így nem azt mondja, hogy „ha a szerelvény hosszát tekintjük egységnyinek, akkor a híd hossza 4 egység”. Még egyszer: Pistike is képes felismerni, hogy a hídon akkor is 4 szerelvény fér el egymás után, ha azok emeletes hálókocsik, meg akkor is, ha lapos pőrekocsik, akkor is, ha ezek pirosak, akkor is, ha kékek, akkor is, ha fából vannak, akkor is, ha műanyagból.

Pistike 3 évesen gyakorlatilag megfeleltette a világ geometriai vonatkozásait az aritmetikai vonatkozásainak. Valahogy mintha neked ez esne nehezedre. Nem azt akarom mondani, hogy hülyébb vagy, mint egy 3 éves, nyilván sokkal nagyobb matematikai tudással rendelkezel, mint Pistike, a mentális készségeid is nyilván jobbak, csak mintha elveszítetted volna a fókuszt arról, hogy adott vizsgálódásnál mi a vizsgálódás tárgya, mi a matematikai fogalmaknak a valóságban való reprezentációja, és ebből mi releváns a vizsgálódás tárgya szempontjából. Mintha a fejedben a matematika valami külön világ lenne, ami részben levált a valóságról. Ez amúgy önmagában nem baj, csak akkor nem biztos, hogy te rendelkezel azzal a szemlélettel, hogy te mond meg a tutit.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> Lehet ábrázolni mondjuk egy síkon is, amelyben nem pontok jelölik a számok helyét, mint a számegyenesen, hanem egyenesek. Középen van a nulla nevű függőleges egyenes, balra tőle a -1 nevű függőleges egyenes, jobbra tőle az 1 nevű függőleges egyenes, stb.

Lehet persze, csak a metszete ugyanaz lesz, az, hogy pontok vagy egy vagy több másik dimenzióban kiterjedéssel rendelkező valamik (egyenesek, vagy akár síkok) vannak, az az adott dimenzió szempontjából lényegtelen.

Ott vannak a matematika oktatásban, alsó tagozatban használt színes rudak: [link]

A tanító néni meg is kérdezi, hogy a matematika könyv hány egység hosszúságú. A jobb képességű diákok elkezdik a 10 egység hosszúságú rudakkat lerakni hosszában, majd ha több nem fér el, akkor letesznek egy még pont megfelelő hosszúságú rudat. ( [link] ) Aztán szépen összeadják, hogy 10+10+8=28, tehát a könyv 28 egységnyi hosszú. A kicsivel kevésbé jó képességű diákok meg a maradékot fehér kockákból rakják ki ( [link] ) Aztán ők is összeadnak: 10+10+1+1+1+1+1+1+1+1=28

A rosszabb képességű tanulók meg elkezdik fehér kockákkal kirakni. Aztán a fehér kockák elfogynak, és… És itt jön az az absztrakció, amit ezek a rosszabb képességű tanulók is képesek meglépni. A fehér kockák elfogytával elkezdik a színes (hosszabb) rudakat letenni, de nem hosszirányban, hanem keresztben. ( [link] ) Mert lehet, hogy ezeknek egy másik irányú kiterjedése nagyobb, de a szélességük ugyanakkora. Teljesen mindegy, hogy fehér vagy színes rudakkal rakja ki a könyv hosszát. Ezek a rosszabb képességű tanulók is felismerik, hogy a mérésre használt rudak vízszintes irányú kiterjedése irreleváns, lényegtelen, a függőleges irányú kiterjedés számít, mert függőleges irányú kiterjedést akarunk mérni.