A kvantummechanika miért használ komlex számokat?

Gondolom, lebutítva a problémát, azért, hogy amikor a bevált, tesztelt, biztosan jó egyenletben kijön az, hogy négyzetgyök mínusz kettő, ne lehessen tanácstalanul széttárni a kezüket és elmenni inkább sörözni.

A komplex számok alapvetően erre lettek bevezetve, tehát összefüggés bizonyára van.

De gondolom nem ilyen alap választ vársz, hogy azért, hogy a negatív számoknak is legyen gyöke, mert kell.

Bontsuk két részre a komplex számok megjelenését a fizikában. Első esetben mondjuk van egy klasszikus csillapított harmonikus rezgőmozgónk, rezgőkörünk, egyéb klasszikus cuccunk. Ezeknek az egyenleteiben nem látunk komplex számokat. A megoldásaikat viszont kereshetjük valós függvényként, vagy kényelmi/szemléleti okokból komplex megoldást is találhatunk, de akkor teljesülnie kell egy kitételnek, hogy annak a valós (vagy más közös szabálykönyv esetén a képzetes) része vissza kell adja a valós megoldást. Ez tehát egy matematikai(=megoldás technikai) fogás. Nem kötelező, nem tiltott.

Ellenben például az időfüggő Schrödinger egyenletben magában ott figyel a képzetes egység, ergo a fizikai rendszer maga ilyen. Innentől kénytelenek vagyunk komplex megoldásokat keresni, és a mérhető valós mennyiségek képzési szabálya is másképp alakul.

OK, de miért van ott az a képzetes egység? Nem lehet megúszni? Nem lehet. Ha a fizikában (tipikusan térelméletekben) előforduló alapvető szimmetriákat nézzük, azok matematikai reprezentációja van úgy, hogy nem kerülheti meg a komplex számokra alapozást, vagy más bonyolultabb matematikai apparátust (pl. axiálvektor, tenzor, spinor, funkcionál, balra deriválás/jobbra deriválás, felcserélés és más operátorok, stb.).

Ebben a videóban pont beszél arról a hölgy, hogy a kvantumfizikában miért kell használni komplex számokat.

https://www.youtube.com/watch?v=ALc8CBYOfkw