Mit csináltam rosszul ennél a képletnél?

A beszorzással, mert emeled a fokszámot.

Nézd pl ezt:

x - 1 = 0. ( csak 1 a megoldás) /*x

x^2 - x = 0. ( 1 és 0 is megoldás lett).

#5ös

Nem, mert nézd meg, hogy az a beszorzás előtti egyenletnek is már megoldása az 1.

-x² + 1/x = 0

Azaz ha itt x-el beszoroz akkor nem nő a megoldások száma. Nálad egy elsőfokú egyenletből lett egy másodfokú, amitt jön be a plusz megoldás, itt már eleve harmadfokú volt az egyenlet a beszorzás előtt is, emiatt a beszorzás nem változtat rajta.

Nem a fokszámmal van itt a probléma, hanem azzal, hogy olyan állításból indultál ki, ami nem igaz.

Tehát amikor azt mondod, hogy 1+x=-x^2, és ezt fel is használod, akkor egy olyan állítást használsz fel, ami nem igaz. Mivel itt nem egy azonosságról van szó, ezért a további lépéseknél az értelmezési tartomány leszűkül a felhasznált állítás értelmezési tartományára, ami -érthető okokból- jelen esetben üres halmaz lesz a valós számok halmazán, tehát teljesen mindegy, hogy mit kapsz a végén, az az eredeti egyenletnek hamis gyöke lesz.

Ezért kell vigyázni az olyan behelyettesítésekkel, amelyben az ismeretlen önmagára hivatkozik.

Az x² + x + 1 = 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. A két komplex megoldás:

x₁ = -1/2 - (√3/2)i

x₂ = -1/2 + (√3/2)i

Tehát minden, az egyenletnek eleget tevő x egy komplex szám. Természetesen x négyzete is komplex szám, hiszen az is levezethető, hogy x²=1-x, így ha x nem valós szám, x² sem lehet az:

x₁² = -1/2 + (√3/2)i = x₂

x₂² = -1/2 - (√3/2)i = x₁

És emiatt „rontja el”, vagy ha úgy vesszük „javítja meg” az x-szel való beszorzást az egyenletet. az 1/x-nél kiesik az x, a x² esetén meg:

x₁² * x₁ = x₂ * x₂² =

= (-1/2 + (√3/2)i) * (-1/2 - (√3/2)i) =

= (-1/2)² - ((√3/2)i)² =

= 1/4 - (3/4)i² =

= 1/4 + 3/4 =

= 1

Így aztán -x³ + 1 valós, így x³ is lehet valós, így ennek a harmadfokú egyenletnek lehet valós megoldása is.