Hogyan kell bebizonyítani, hogy 1! + 2! + 3! + ... + 2016! összeg osztható 9-cel?

Vezesd vissza erre:

ha az 1! + 2! + 3! + 4! + 5! osztható 9-cel, akkor a fenti összeg is, hiszen minden további tag osztható 9-cel, mert legalább 2 db 3-mal osztható szorzó van benne.

Kapásból annyit tudsz, hogy 9!-tól kezdve minden faktoriális osztható kilenccel.

Aztán elkezdesz gondolkodni, és rájössz arra, hogy ez 6!-tól már igaz, hiszen a 6!-ban ott van a hat mellett a három is.

Tehát elég azt vizsgálni, hogy 1! + 2! + 3! + 4! + 5!. Innen lehet nézni a 9-es maradékokat. Ezek a számok még nem nagyon nagyok, ezért meg lehet őket nézni:

1, 2, 6, 24, 120

a számjegyeket összeadva megkapod a választ.

A 2-es választ annyival egészíteném ki, hogy nem is muszáj a faktoriálisokat konkrétan kiszámolni. Azt érdemes tudni, hogy

a*b maradéka = (a maradéka * b) maradéka, illetve ennél általánosabban;

a*b maradéka = (a maradéka) * (b maradéka)

Például a 25*4=100 9-es maradéka 1. Ha úgy nézzük, hogy 25 9-es maradéka 7, 7*4=28, aminek a 9-es maradéka szintén 1.

Ennek megfelelően;

1! = 1 9-es maradéka 1.

2! = 2 9-es maradéka 2.

3! = 6 9-es maradéka 6.

4! = 24 9-es maradéka 6.

Az 5! esetén is számolhatunk úgy, hogy 120 9-es maradéka mennyi, de egyszerűbb azt kiszámolni, hogy az előbbi 6-os maradékot szorozzuk 5-tel, ami 30, és ennek a 9-es maradéka egyszerűbb, ami 3.

Ezután csak a maradékokat kell összeadnunk; 1+2+6+6+3=18, ami valóban osztható 9-cel, tehát az eredeti is.

Nyilván ennél a feladatnál ez a fajta megoldás nem volt érdekes, hiszen valóban nem egy embertelen számolás 5!-ig kiszámolni az értékeket, majd azokat összeadni, hogy a 9-cel oszthatóság vizsgálható legyen, de ha mondjuk az lenne a kérdés, hogy az összeg osztható-e valami "nagy" prímszámmal, mondjuk 29-cel, akkor máris ott vagyunk, hogy a 29!, 28!, stb. számok már nagyságrendileg eléggé kiszámíthatatlanok (már abban az értelemben, hogy a zsebszámológépek legjobb esetben is csak normálalakban adják meg az eredményt), így viszont sokkal barátibb számításokat kapunk a fent vázolt módszerrel (mivel 29*28=812-nél biztosan nem kapunk nagyobb számokat a szorzatok számolása során).