Melyik az a legkisebb intervallumot adó függvény, amelyikkel a prímek száma mindig csökken?

Kicsit zagyvának érzem a kérdést, de mit szólsz az

f(x):=x

függvényhez?

A [0,x] intervallumban több prím van mint az [x,2x]-ben. Ha jól gondolom akkor itt még a kellően nagy x feltevés sem kell, de annyira nem gondoltam végig.

A kérdésed megválaszolásában aligha segít, de most, hogy olvasgattam a témában, találtam egy döbbenetes dolgot, ami csak annyiban kapcsolódik a kérdésedhez, hogy szintén a prímek egyenletlenségéből fakad.

Az első Hardy–Littlewood sejtés az ikerprímek sűrűségéről szól, és betonszilárdnak tűnik.

A második Hardy–Littlewood sejtés így szól: π(x+y) ≤ π(x) + π(y). Ez egy már-már unalmas sejtés, hiszen ismerjük a prímeket elég sokáig, sokmilliárd felett nyilván sose záporoznak már jobban, mint az elején.

Ami érdekes, hogy a két sejtés egyszerre nem lehet igaz. Az ezzel foglalkozó matematikusok gyakorlatilag kivétel nélkül az elsőben hisznek, elvetetik a másodikat, és úgy gondolják, hogy nagyon magasan is vannak a kezdetinél is sűrűbb prímcsomók. Konkrétan 10^174 és 10^1198 között létezik egy olyan háromezres intervallum, amiben több a prím, mint 1-től háromezerig. Ezen lehidaltam, hiszen abban a magasságban már sokszázszor ritkábbak a prímek, mint idelent.

A kérdésedet persze ez nem lendíti előre, de gondoltam csak megosztom már, annyira érdekes.

f(x)-re talán egy felső korlát keríthető a π(x) alsó és felső korlátaiból. Ha az alsó l(x) a felső u(x), akkor a legrosszabb esetben, amikor x előtt sűrűek, és utána ritkák: u(x+d) - l(x) < l(x) - l(x-d). Ha l(x) = x/(ln(x)-1) és u(x) = x/(ln(x)-1.1)-et használsz, és numerikusan megrajzolod a fenti egyenlőtlenség határvonalát az x,d síkon, lehet hogy valami ismerős alakzatot kapsz, amin el lehet indulni. Ha esetleg megcsinálod, akkor oszd majd meg.