(0, +végtelen) -ből, azaz a nem negatív valós számokról szeretnék a [0,1) intervallunba képezni valami exp vagy log jellegő függvénnyel. Lehetséges? Van ilyen?

A (0, végtelen) és a (0,1) halmaz számossága ugyanaz, ezért van ilyen leképezés.

Most nincs időm végigszámolni, de annyira emlékszem, hogy ha a

0 pontból 1 egység sugarú negyedkört rajzolsz, akkor ezzel az 1-végtelen leképezhető egy-egy értelműen 0-1 közé.

A (0,1) pontot összekötöd az (x,0) ponttal ez valahol elmetszi a negyedkört és a metszéspontot levetíted az x tengelyre.

Ahhoz, hogy 0-végtelen legyen leképezve még valahogy bele kell tenni egy eltolást (és esetleg egy visszatolást), ez az amit most nincs időm képletszerűen levezetni.

Kedves Kérdező!

Világosíts fel, egy "exp vagy log jellegő függvény" deriváltja, vagy integrálja szintén "exp vagy log jellegő függvény"-e, és ha igen, akkor miért nem?

Na sikerült kiszámolnom:

Rajzoljunk egy negyedkört a -1,0 pont köré.

(x+1)^2+y^2=1 egyenlettel.

És vegyünk egy p>=0 számot, ez a (p,0) pont.

Kössük össze a (p,0) pontot a (-1,1) ponttal.

Ez valahol elmetszi a negyedkört kört.

ha p=0, akkor a (0,0) pontban.

Minél nagyobb a p, annál közelebb az x=-1 ponthoz.

Az egyenes egyenlete:

y = -1/(1+p) * x + p/(1+p)

A metszéspont:

x = -p^2 / (p^2+2p+2)

y = p(p+2)/(p^2+2p+2)

Tehát p pontot leképeztük egy -1, 0 közötti x pontra.

Ha 1-et hozzáadunk, akkor 0-1 közötti pontot kapunk:

p -> -p^2 / (p^2+2p+2) + 1

Na most, hogy ezt levezettem és felrajzoltam kiderült, hogy sokkal egyszerűbb megoldás is van.

a^(-x) függvény x>=0-ra pont olyan, hogy x-hez egy (0,1] közötti számot rendel.

Azt hiszem, ezt szeretted volna igazából.