Mi az a lineáris interpoláció?

Ha egy tudományos megfigyelést végzel, ahol a megfigyeléseid mindig csak egy adott pont a koordinátarendszeren (például a víz térfogata (y koordináta) egy adott hőmérsékleten (x koordináta), a húsfogyasztás mennyisége (x koordináta) és a rák kialakulásának esélye (y koordináta) közötti összefüggés stb), viszont idő hiányában nem tudsz annyi pontot felrajzolni a koordinátarendszerre, hogy minden egyes x koordinátára adj egy y koordinátát. Amúgy is két szám között végtelen sok szám van, tehát lehetetlen.

Ezért kénytelen vagy interpolációs módszert alkalmazni.

Mit jelent a lineáris interpoláció? Összekötöd a két szomszédos pontot.

[link]

Természetesen vannak szofisztikáltabb interpolációs (nem lineáris) módszerek is, amik a valósághoz közelebbi eredményt szoktak adni:

[link]

De az utóbbival majd egyetemen fogsz sokat foglalkozni.

Természetesen minél kevesebb pontot tudsz berajzolni, az interpolációs eljárás annál pontatlanabb lesz.

Függvénybecslésre használják. Van egy természeti jelenség, aminek nem ismered a képletét, akkor ez segít megbecsülni. Ha nem tudod egy függvény értékét a 2 helyen, de tudod az 1 és a 3 helyen, akkor hozzávetőlegesen meg tudod mondani, hogy az mennyi lehet.

Például így jöttek rá, hogy -273.15°C az abszolút 0 fok. Azt vizsgálták, hogy gáz alapú hőmérő térfogata hogy viselkedik és kíváncsiak voltak, hogy az adott gáz térfogata milyen hideg környezetben fog 0-ra zsugorodni, tehát elméletileg melyik az a legkisebb hőmérséklet, amit egy hőmérő még mérni tud. Mivel nem voltak képesek ilyen hideg környezetet teremteni, ezért a meglévő, viszonylag meleg mintákra illesztettek egy ilyen függvényt. Azt a függvényt meghosszabbították és azt olvasták le, hogy körülbelül -270°C közelében fog "eltűnni" az adott anyag.

Később pedig más módszerekkel igazolták, hogy -273.15°C tényleg az abszolút 0, tehát ez a módszer egy elég jó becslésnek bizonyult.

Mai napig tudományos kutatómunkákhoz rendszeresen használják, de alkalmazott területeken is fontos szerepe van a függvényillesztésnek: a mesterséges intelligenciától a tőzsdei spekuláción át egyszerű statisztikák elemzéséig. Tehát nagy eséllyel később szükséged lesz rá.

Néhány kiegészítés:

"Ha megengedsz egy buta kérdést,miért "jó" az,ha összekötjük a pontokat,mi derül ki ebből?"

Nem jó, de jobb híján ezt lehet első becslésnek használni, és mint ismeretes, két pontra egyenes illeszthető egyértelműen.

Felhasználhatsz pl. 3 pontot is, ekkor másodfokú parabolával tudod megközelít

folytatás:

megközelíteni a kérdéses helyen a keresett értéket. A pontok száma növelhető. A tapasztalás szerint viszont nem célszerű magas fokszámú polinom alkalmazása, mert az nagy oszcillációt eredményez.

Az igényes számítások során szakaszonként C^2 folytonos harmadfokú polinomot használnak.

#5-nek: Amit példaként felhoztál, az nem inter, hanem extrapoláció.

"Csak a lagrange interpoláció nem alkalmas magas fokszámú polinomok illesztésére".

Nem csak a Lagrange-féle nem alkalmas. Semmilyen illesztési eljárás nem jó, ha magas fokszámú polinomot használ. Így általánosságban a Hermite-polinomok, és a legkisebb négyzetek módszerével előállított megoldások is ilyenek. Bár utóbbinál eleve lineárist, vagy parabolát használnak, (néha exponenciálist, modelltörvénytől függően) mert az alappontokra való illesztés eleve nem követelmény.

Ha az alappontokra való illesztést előírjuk, akkor a szakaszonként harmadfokú C^2 spline a legideálisabb, ez a variációszámítás eszközeivel igazolható.