Kis segítség linalghoz?

Mielőtt hozzálátnánk a megoldáshoz két problémám is van.

Egyik, hogy melyik kettő feladatra gondoltál az 5-6-7 hármas közül? Másik, hogy az a B elég pongyolán van leírva. Mi akar lenni bázis vagy bázistranszmormáció? Köszi. Sz. Gy.

Az 5-ös feladat a spektrálrádiusz és inverzmátrix meghatározását kéri. Az inverz

α≠0 esetén létezik és (sorfolytonos írásmóddal írva)

A^(-1)=[1,1,-1/α;0,1,1/α;0,0,1/α], det(A)=α. A karakterisztikus polinomja

(x-1)^2*(x-α), amiből a sajátértékek {1, α}. Ezek alapján ρ(A)=max(1, |α|).

A 6/a feladatnál elegendő belátni, ha x,y ∈ Wi (i=1,2) és λ ∈ R, akkor x+y ∈ Wi és

λx ∈ Wi. Ez pedig a mi esetünkben triviálisan teljesül. Tehát minkettő halmaz altere lesz R4-nek. 6/b feladat bázis keresését kéri, ha az egyik altér. Ez az előbbi alapján megtehető és W1 esetén [α1=2α3+α4,α2=α3+α4,α3,α4] alapján{[1,1,0,1],[2,1,1,0]} és dim(W1)=2. W2 esetén [β1=γ(β3+β4),β2,β3,β4] alapján γ=1 választással élve {[1,0,0,1],[1,0,1,0],[0,1,0,0]} és dim(W2)=3. A 6/c feladatnál a span(W1,W2) nem lehet más, mint az R4 x0 zéróvektorát tartalmazó altér (zéróaltér). Ugyanis keresnünk kell a (W1 ∩ W2) halmazt tartalmazó legszűkebb alteret (lineáris burkát) és ez csak αi =0 és βi=0 (i=1,2) esetén valósulhat meg. Ellenkezőleg W2-nél a β1=(γ+1)β3+γβ4 valósulna meg, ami lehetetlen.

7/α feladatnál látható, hogy C tér bázisának első része n-1 db., míg a másik része n-2 db. komponensből áll. Tehát dim(C)=2n-3. Ez akkor és csak akkor lesz altér Rn-ben, ha n=2n-3, azaz n=3. 7/β feladatra csak sejtést tudok írni, miszerint dim(Span(C))=dim(C)=3. A felírt bázis által generált altérre gondoltam, ami n=3 esetén a önmaga lineáris burkát (span) adja. Sz. Gy.