Erre a függvényre mi a megoldás?

Ha x=y=0, akkor

f(0)=2f(0)

f(0)=0

Ha y=0, akkor

f(0)+x=f(x)+f(0)

f(x)=x

Ha egyéb kikötés nincs, az egyenletnek igaznak kell lennie y=0 esetére is. Ekkor az egyenlet így néz ki:

f(xy) + x + y = xy + f(x) + f(y)

f(x*0) + x + 0 = x*0 + f(x) + f(0)

f(0) + x = f(x) + f(0)

x = f(x)

f(x) = x

Nyilván szimmetria okokból x=0 esetén is ugyanezt kapjuk:

f(xy) + x + y = xy + f(x) + f(y)

f(0*y) + 0 + y = 0 + f(0) + f(y)

f(0) + y = f(0) + f(y)

y = f(y)

f(y) = y

(Ne tévesszen meg, hogy itt más betűvel jelöljük a függvényváltozót, ettől még mindkettő az f(krumpli) = krumpli függvényről van szó.)

Biztos, ami biztos, nézzük meg, hogy ezt behelyettesítve általánosan is fennáll-e az egyenlet:

f(xy) + x + y = xy + f(x) + f(y)

xy + x + y = xy + x +y

Az egyenlet két oldalán ugyanaz a kifejezés szerepel, tehát bármely x-re és y-ra fennáll az egyenlet f(x)=x esetén.

Más megoldás nincs, az y=0 – illetve az x=0 – esete meghatározza a függvény egészét, bármely változó esetén.

~ ~ ~

Az első válaszoló megoldása jó, maximum annyit lehet hozzáfűzni, hogy a második eredményből következik az első részeredmény is, f(x)=x esetén igaz, hogy f(0)=0.

Triviális megoldás, f(x) = x, f(y) = y, f(xy) = xy.

Csakhogy az analitikában nem értelmeződik az f(xy). Ugyanis a zárójelben az a változónak kell állnia. Most vagy egyváltozós függvényről van szó és xy egy jele ennek (mondjuk kettősbetű), vagy kétváltozós, akkor pedig f(x,y) alakú.

Ezen túlmenően vagy nulla végtelen megoldás lehetséges, már ami a három függvényt illeti.