Milyen szám-modellek vannak?

Beszélhetünk számkörökről vagy azok modelljeiről.

Az iskolában tanult számkörök először a korlátos számkörök, melyeket felső korlátjukkal szoktak jellemezni. A számolás tanulása során a számkör egyre bővül.

Utána jönnek a természetes számok, majd az egész számok, a racionális számok, illetve a valós számok.

A komplex számok az a legnagyobb számkör, amire többnyire számkörként gondolnak. Ritkábban kerülnek elő a kvaterniók, még ritkábban az októniók. A további bővítésekkel a számolási szabályok egyre kevésbé érvényesülnek, a kvaterniók szorzása nem kommutatív, az októniók szorzása már nem asszociatív.

Fogalmam sincs mit értesz "modell" alatt, de a kategorizálásod alapján te a számhalmazokra gondolhatsz:

[link]

Tulajdonképpen amiket felsorolták azok mindegyike részhalmaza az egész számoknak, pontosabban annak egy kibővítésével kapod meg őket. Bővebben az algebra foglalkozik ezzel.

Megjegyzem ilyen, hogy "számjegyek" és "többjegyű számok" halmaza nincs, ezek csak matematikai fogalmak.

A számjegy egy írásmódja a számoknak. Nem modellje hanem egy jelképi ábrázolása. A számjegy fogalma és amit írtál, hogy "többjegyű természetes számok" teljesen eltérő nézőpont. A természetes szám egy "viselkedése" a számoknak. A többjegyűség egy ábrázolási módja. Pl.: vegyük a tizenötöt. Ez hány jegyű szám? Kettes számrendszerben négy jegyű 1111 alakban lehet felírni, nyolcas számrendszerben két jegyű 17 alakban lehet felírni. Tízes számrendszerben 15 alakban lehet felírni, tizenhatos számrendszerben viszont már csak egy jegyű "F" alakban lehet felírni. Egy számrendszer alapja bármely természetes szám lehet, így bármely természetes számhoz található olyan számrendszer amiben maximum 1 jegyű "szám"ként felírható.

A kérdésed másik homályrésze az előjeles számok, törtszámok egy másik kérdéskör. Ha a természetes számokból indulok ki akkor a természetes számkörben végzett műveletek alapján határozom meg a további bővítést. Ha halmazelméleti megfontolásból indulok ki (és ma középiskolában leginkább így tanítják) akkor vannak a halmazok, a halmazok elem számát lehet leírni a természetes számokkal. Azaz a természetes szám egy tulajdonság leírására szolgál, megadja egy halmaz elemeinek számát (mennyiség), ezért lesz értelmezhető rajta néhány művelet és néhány reláció (összeadás, kivonás, kisebb, nagyobb, egyenlő stb.). Ezt középiskolában szépen levezetik itt nincs rá mód. Eljutunk a kivánás műveletig és kiderül, hogy az kviezet a terméeszetes számkörből (számhalmazból). Vagy bekorlátozzuk "magunkat" és nem engedjük meg a kivonást, vagy definiálunk olyan számokat amelyek lehetővé teszik azt,h ogy a kivonás műveletet elvégezzük a teljes számhalmazon (ekkor jönnek be a negatív számok). Mindezt úgy tesszük, hogy a korábban a terméeszete számokon megismert műveletek és tulajdonságok (asszociativitás, kommutivitás, relációk stb.) igazak maradjanak. Ha van egység elem (és ez létrejött a terméeszetes számokkal) több úton is be tudjuk vezetni a szorzás műveletet. A szorzás művelet megint bármely két természetes számra elvégezhető. A szorzás megfordítása (ez lesz az osztás) már nem ekkor be kell vezetni a tört számokat. A sorozatos szorzások helyett bevezetjük a hatványozás fogalmát, ezzel megint nincs probléma, de a hatványozás "megfordítása" (gyök vonás) esetén szembetaláljuk magunkat, hogy léteznek olyan gyökök amelyek nem törtszámok (ezek lesznek az irracionális számok). És ez még mindig egy "vonulat" de nem értem hol van itt a modell? Ugyanide eljuthatunk a függvénytanon keresztül is (a függvények is halmaz műveletek), illetve egy harmadik úton eljuthatunk a vektorokig is. Viszont a függvény illetve a vektor műveleteknél hamar rájövünk arra, hogy a valós számok (racionális és irracionális számok) sem megfelelőek, mert rengeteg művelet esetén kapunk olyan eredményt amit nem tudunk megmondani. Ekkor vezették be az ún. komplex számokat, hogy minden másodfokú egyenletnek legyen két megoldása /két valós, vagy két komplex gyökpár, vagy 0/(ez igazán a vektoroknál fog kelleni).

Ha így vesszük a "szám modell" (életemben nem hallottam még erről) valahol a "szám elmélet" kéne legyen. Illetve a módszer ahogy felépítük a "szám"-okat (pl. indulunk a halmazokból).

Régen (Pithagorasz és kortársai) kísérleteztek, vizsgálták sokat a számokat, a számok tulajdonságait rengeteg szabályszerűségre rájöttek (pl. Pithagorasz tétel és később annak geometriai jelentése). Ebből ma már csak a "négyzetszámok" közésimertek, de dolgoztak háromszög meg ötszög számokkal is. Ők a harmonia-periodicitás leírását keresték, ők a világ harmóniájában hittek, és úgy gondoltak, hogy a számok segítségével leírható a világ harmóniája. De ők is a számokat használták a modell felépítésére. (lepontozoktól részletes indoklást kérek)