Van végtelen primszám?

valószínűleg arra gondoltál, hogy végtelen sok prímszám van- e. (ahogy azt, az előző válaszoló is feltételezte) - mert csak így van értelme a kérdésnek

nos, matematikailag nem tudom bizonyítani, de logikailag igen - ez lehet akár axioma is, akkor meg nem is kell bizonyítani :)

mivel a számok halmaza végtelen, a végtelen halmaznak pedig a részhalmaza is végtelen, ugyanakkor tudjuk, hogy a prímszámok a számok összességének a részhalmaza, így ebből következik, hogy a prímszámok számossága is végtelen.

elég bizonyításnak?

:)

az előző vagyok...

na, ezt jól elszúrtam :(

pedig olyan elegánsnak tűnt..

szóval, egy a végtelen halmaznak egyáltalán nem biztos, hogy a részhalmaza is végtelen -így az előbbi elmemenésemsajnos nem áll meg :(

közelítsük meg inkább onnan a kérdést, hogy utal- e bármilyen jel is arra, hogy a prímszámok egyszer csak "elfogynak.

én nem tudok ilyen elméletről - ettől persze akár lehet is...-, de semmi okunk feltételezni, hgy egy végtelen számosságú halmaznak egy speciális részeleme véges számú legyen.

az igaz, hogy egyre nehézkesebben találnak újabb és újabb prímszámokat, de ennek egyszerűen az lehet az oka, hogy ahgyan nő a mintavételezésre rendelkezésre álló halmaz számossága, úgy egyre több esély van arra, hogy egy adott szám ne legyen prímszám.

a számegyenes előrehaladtával valószínűleg a prímszámok előfordulásának valószínűsége a zéró felé tendál, de azt soha nem éri el.

hmmmm.... érdekes, még soha nem gondolkodtam el ezen, pedig érdekes probléma.

ha sikerül bizonyítanod - akár pro, akár kontra - érdeklődéssel várom a levezetést.

Végtelen sok prímszám van. Ennek az állításnak a legrégibb bizonyítását Euklidész adta meg Elemek című munkájában. Euklidész állítása a következő: "a prímszámok darabszáma nagyobb bármely adott (véges) számnál", a bizonyítása pedig a következő:

Tegyük fel, hogy a prímszámok darabszáma véges. Legyen ez a szám m. Szorozzuk össze mind az m darab prímet, majd adjunk hozzá egyet. A kapott szám egyik prímmel sem osztható a halmazunkból, hiszen bármelyikkel osztva egyes maradékot kapunk, az egy pedig egyik prímmel sem osztható. A szorzat tehát vagy maga is prím, vagy osztható egy olyan számmal, ami nincs benne a fenti véges halmazban. (Ez azért igaz mindig, mert minden 1-nél nagyobb egésznek van prímosztója.) Mindkét esetben legalább m+1 darab prímszám létezik. A fenti érvelés viszont nem függ m értékétől, így (m+1)-re is ugyanígy felírható. Így tehát a prímszámok darabszáma nagyobb bármely adott véges számnál.

***************************

azt hiszem megspóroltam neked egy kis munkát...euklidesz megelőzött :)

érdekesség:

[link]