Külső segítség, pl. számológép nélkül, melyik lehet nagyobb: 100^200 vagy 200!?

Nézzük a logaritmusukat (ugye pozitív számokra ez szigorúan monoton növekvő függvény, tehát amelyiknek nagyobb a logaritmusa, az lesz a nagyobb):

200*ln(100) vagy ln(1 + 2 + 3 + … + 200) = ln(200*201/2) = …

Így be tudod fejezni?

OMG, hülyeségeket írok…

Szóval 200*ln(100) vs ln(1) + ln(2) + ln(3) + … + ln(200).

Tudjuk, hogy n! ~ (n/e)^n, és 200/e kevesebb mint (200/2.5=) 80.

100^200 > 80^200 tehát az első nagyobb.

Ha van egy kis szerencsénk, akkor a számtani-mértani közepek közti összefüggéssel kijön; vonjunk mindkét számból 200. gyököt, értelemszerűen ez a két szám közötti relációt nem befolyásolja. Így az a kérdés, melyik a nagyobb, a

100 vagy a kétszázadikgyök(200!)

Sejtsük meg, hogy a második a kisebb, ekkor azt felülről tudjuk becsülni, tudjuk, hogy annak értéke legfeljebb (1+2+3+...+200)/200. A számlálóban lévő összeg könnyen összeadható számológép nélkül is, lásd a számtani sorozat összegképletetét, így eredményül 100,5-et kapunk. Ennek az eredménynek nem nagyon örülünk, mivel ennek kisebbnek kellene lennie, mint a másik szám, és akkor bebizonyosodna, hogy az eredeti is biztosan kisebb 100-nál, így a 100^200 a nagzobb, ebből így viszont nem következik semmi. Az a 0,5-es eltérés elég okot adhat arra, hogy azt gondoljuk, hogy a második a kisebb, és annak az irányában gondolkozzunk tovább. Persze ettől még lehet, hogy a másik a kisebb, és az intuíció tévútra visz. Mindenesetre ez az eljárás sok esetben eredményre vihet, például ha nem 200! lenne, hanem 199!, akkor máris eredményre vinne.

Nézzük a 10-es alapú logaritmusát a két oldalnak:

200*2 = 400 vs lg(1) + lg(2) + … + lg(200).

Ezenkívül lg(1) = 0.

Mivel 31^2 < 10^3 < 32^2, 31 < 10^1,5 < 32;

tehát 3 < 10^0,5 < 4 és 10^2,5 < 320 is teljesül.

Emiatt

lg(2) + lg(3) < 2*0,5 = 1,

lg(4) + lg(5) + … + lg(10) < 7*1 = 7,

lg(11) + lg(12) + … + lg(31) < 21*1,5 = 31,5,

lg(32) + lg(33) + … + lg(100) < 69*2 = 138,

lg(101) + lg(102) + … + lg(200) < 100*2,5 = 250.

lg(1) + lg(2) + … + lg(200) < 1 + 7 + 31,5 + 138 + 250 = 427,5.

Ami 400-nál nagyobb. Basszus.

------ ****** ****** ------

Finomítsunk, legyen 2-es alapú logaritmus, ezt lb-vel fogom jelölni.

200*lb(100) vs lb(1) + lb(2) + … + lb(200).

Mivel 100 > 1,5*2^6 > gyök(2)*2^6 = 2^6,5; ezért 200*lb(100) > 1300.

lb(2) = 1,

lb(3) + lb(4) < 2*2 = 4,

lb(5) + lb(6) + lb(7) + lb(8) < 4*3 = 12,

lb(9) + lb(10) + … + lb(16) < 8*4 = 32,

lb(17) + lb(18) + … + lb(32) < 16*5 = 80,

lb(33) + lb(34) + … + lb(64) < 32*6 = 192,

lb(65) + lb(66) + … + lb(128) < 64*7 = 448,

lb(129) + lb(130) + … + lb(200) < 72*8 = 576.

lb(1) + lb(2) + … + lb(200) < 1 + 4 + 12 + 32 + 80 + 192 + 448 + 576 = 1345.

Ami 1300-nál nagyobb. Ilyen hülye feladatokat…

Mivel közismert, hogy 1,41 < gyök(2), ezért lb(n) < 7,5, ha n < 1,41*128 < 181. (Remélem, háromjegyűeket még tudunk írásban szorozni, így elkerüljük a számológépet.) Ezzel az 576-ra végződő soromat ketté tudjuk bontani, és az lb(181)-nél kisebb elemeken spórolunk 0,5-et. Ez 52 elem, tehát az új felső becslés 1345 – 52/2 = 1319.

lb(n) < 6,5, ha n < 1,41*64 < 91, tehát 26 elemen spórolunk felet ismét: 1319 – 26/2 = 1306.

lb(n) < 5,5, ha n < 1,41*32 < 46, tehát 13 elemen megint felet spórolunk: 1306 – 13/2 = 1299,5.

JUHÉÉ! Ezzel megvan,

lb(200!) < 1300 < 200*lb(100),

tehát 200! < 100^200, azaz 100^200 a nagyobb.

------ ****** ****** ------

Talán valahogy ügyesen lehetne finomítani a számtani mértani közepes becslésen is, és akkor lenne egy szép megoldás is.

#2:

A logaritmus függvény konkáv, tehát az átlaga az kisebb, mint középen az értéke:

ln(1)+..+ln(200)/200 < ln(100.5).

Ez még kevés, hogyan tovább?

#6: Írd fel 2 és 198 között, majd vedd hozzá az 1, 199, és 200 logaritmusát külön. ln(1) erősebben húzza lefelé az átlagot mint a két nagy együtt:

ln(1) + ln(199) + ln(200) - 3*ln(100) < ln(1) + 2*ln(200) - 3*ln(100) = ln(1/100) + 2*ln(200/100) = ln(1/100) + ln(4) = ln(4) - ln(100) negatív.

Logaritmus sem kell hozzá, csak összehasonlítani a faktoriális és a hatvány szorzótényezőit:

99*101 < 100*100

98*102 < 100*100

97*103 < 100*100

...

1*199 < 100*100

(... a mértani közép alapján, vagy (a+b)*(a-b)= a^2-b^2 ; a=100, b=1, 2, 3, ...)

A végén persze a 200 kimarad:

200 > 100 , vagyis (csak) itt a bal oldal 2-szer nagyobb, de előtte éppen:

1*199 < 100*100 , és itt a bal oldal 50-szer kisebb, tehát a faktoriális kevesebb, mint 1/25-e a hatványénak.

Amúgy a #3 nem bizonyítás, bármilyen szintű és témájú matematika dolgozaton helyből 0 pontot érne el.

Nem matematikán belül persze jó az is.