Hány számjegyű a következő szám: 10^100 - 9^100? Számológép nélkül.

Persze;

A 10^100 a tanultak szerint úgy néz ki, hogy az 1-es mögött van 100 darab 0, tehát 101 jegye van. Ha ebből a számból kivonunk akár csak 1-et is, már 100-jegyű lesz, és akkor lesz 99 jegyű, hogyha kivonjuk a 9(00...00)1 számot, ahol a (00...00) 98 darab 0-t jelöl, tehát maga a szám egy 100-jegyű szám.

Ha be tudjuk azt látni, hogy a 9^100 ennél kisebb, akkor a 10^100-9^100 biztosan 100-jegyű. Ha ennél nagyobb, akkor még számolni kell tovább. Szerencsére viszont könnyen be lehet látni, hogy a 9^100 még csak nem is 100-jegyű; tudjuk, hogy a 10^n alakú számoknak, ahol n természetes szám, n+1 számjegye van. Az a kérdés, hogy milyen n-re teljeül, hogy

10^n <= 9^100 <= 100^(n+1)

Amilyen n-re teljesül, annál 1-gyel nagyobb számnyi számjegye van.

Először is vegyük észre, hogy minden 10^99 és 10^100-1 közé eső egész szám 100 számjegyű. Majd lássuk be, hogy az általad felírt szám is ilyen.

10^100 - 9^100 = (10^99 + 9*10^99) - 9*9^99 = 10^99 + 9*(10^99 - 9^99). Ez nyilvánvalóan nagyobb mint 10^99 és nyilvánvalóan kisebb mint 10^100 - 1. Tehát 100 számjegyű.