Hogyan kell számológép nélkül meg állapítani, hogy melyik a nagyobb log2 ^3 vagy a log3^2?

Azt tudjuk, hogy log(2)[2]=log(3)[3]=1, és mivel mindkét logaritmus alapja 1-nél nagyobb, ezért mindkét függvény szigorúan monoton növő, vagyis log(3)[2]<log(3)[3], így log(3)[2]<1, log(2)[3]>log(2)[2], vagyis log(2)[3]>1. Egy 1-nél nagyobb szám biztosan nagyobb, mint egy 1-nél kisebb, tehát log(2)[3]>log(3)[2] (nem mellesleg ez a két érték egymás reciprokai).

a) √x-9=0 /+9

√x=9 /négyzetre emelés

x=9^2=81

b) |2002/2001|=2002/2001, |-2001/2000|=2001/2000, szóval elég csak ezekkel foglalkozni. Végezzük el az osztásokat: 2002/2001=1+(1/2001); 2001/2000=1+(1/2000)

Melyik a nagyobb: 1+(1/2001) vagy 1+(1/2000)? Az 1 mindkettőben közös, így csak a törtrészekkel kell foglalkozni. Ha 1 valamit 2000 (egyenlő) részre osztasz szét, akkor a darabok nagyobbak lesznek, mintha 2001 részre osztanád, így az 1/2000 a nagyobb, vagy a -2001/2000 ||-e a nagyobb.

Meg kell néznünk, hogy az x^2-4 függvény értéke hol lesz negatív, mert a függvény azon részét az x-tengelyre tükrözzük az || miatt, így azon a részen a függvény -1-szeresét kapjuk (mivel az x-tengelyre tükröztük). Tehát:

x^2-4<0 /+4

x^2<4 /gyökvonás

x<2 és x>-2, tehát a ]-2;2[ intervallumon a függvény -1-szeresével kell számolnunk.

1. eset: x elem R/]-2;2[, tehát az összes valós szám, kivéve az intervallumot, ekkor elhagyjuk az ||-jelet mindenféle módosítás nélkül (mivel egyébként ezen a részen mindenképp pozitív lesz a függvény, így semmi jelentősége):

x^2-4=(x+2)(x-2) /zárójelbontás

x^2-4=x^2-4, ez egy azonosság, vagyis a fent megadott halmazon minden szám megoldása lesz az egyenletnek.

2. eset: x eleme ]-2;2[, ekkor

-(x^2-4)=(x+2)(x-2) /zárójelbontás

-x^2-4=x^2+4 /+x^2

-4=x^2+4 /-4

-8=x^2, aminek nincs megoldása a valós számok halmazán, mivel nincs olyan valós szám, melynek a négyzete negatív lenne (a komplex számsíkon 8*i lenne, de ez most nem kell nekünk).

előző válaszadónak gratulálok

én még a logaritmust azért beváltanám hatványra mert lehet az szemléletesebb; (log2;3) kettes alapú logaritmus három, azt jelenti hogy a kettőt hanyadik hatványra kell emelni hogy három legyen. (2ˇx=3) ez esetben az x láthatóan nagyobb mint egy, míg fordított esetben (reciprok) (3ˇx=2) x kisebb mint egy.