Azt milyen törtnek hívják, amikor a számlálóban egy racionális, a nevezőben pedig egy irracionális szám áll?

A tört nem a szám, kifejezés értékét, hanem annak felírási módját meghatározó fogalom. Egy számábrázolási módszer, amiben egy kifejezést hányadosaként írunk fel, azaz a/b alakban. A tört számlálója és nevezője nem csak egész szám lehet, lehet irracionális, komplex szám, vagy akár függvény, egyéb matematikai kifejezés is.

A racionális szám az, ami az értékről mond valamit, és amire igaz, hogy a számlálójában és a nevezőjében is egész szám szerepel. Persze ilyen szám lehet akár egész is, pl. 4/2. Az egész számoktól való megkülönböztetésként szokták még használni a törtszám fogalmát. Törtszám az, ami p/q alakban van felírva, ahol p és q egész szám, és p nem osztható maradék nélkül q-val.

1/π → tört, nem racionális szám, nem törtszám, nem egész szám

3/4 → tört, racionális szám, törtszám, nem egész szám

4/2 → tört, racionális szám, nem törtszám, egész szám

0,25 → nem tört, racionális szám, nem törtszám, nem egész szám

1/sin(x) → tört, nem szám, hanem függvény

A tizedes tört megint egy másik fogalom, ami megint jelentésében különbözik a törttől, a törtszámól meg a racionális számtól. Van ugye végtelen, nem szakaszos tizedes tört. Ez szükségszerűen irracionális szám…

Azon esetleg lehet lamentálni, hogy azt is törtszámnak tekintsük-e, ami ugyan konkrétan nem törtként van felírva, de felírható törtszámként. Pl. a 0,25 felírható 1/4 alakban is. Akkor a 0,25 törtszám? Definíció kérdése, ami meg ilyen téren képlékeny. Azért képlékeny, mert magasabb szinten a törtszám kifejezést már nem nagyon használják. Másrészt a törtszám az értékre vonatkozó kritérium, mégis formai kritérium is van benne. A kettő meg szerencsétlenül fedi át egymást. Magasabb szinten sokkal inkább vagyunk kíváncsiak az értékre, és ami törtszámként felírható, arra sokkal egzaktabb leírás, hogy x∈ℚ\ℤ. Hogy most ez 1/4 vagy 0,25 alakban van felírva, az lényegtelen, mert a kettő értéke ugyanaz.

A tizedes tört, mint neve is mutatja, egy speciális tört. Itt a nevező mindig tíz hatványa, mégpedig annyiadik, ahány számjegy áll a vessző után.

0,2 - 2/10, 0,34567 - 34567/100000 és így tovább. Ezek a speciális törtek a tízes számrendszer elterjedése során az egyszerűbb írás (egy sorba írható) miatt vették fel mai alakjukat.

Na tegyük rendbe a dolgokat, röviden és tömören.

1. Minden x/y formában megadott kifejezés neve tört.

Két tipusa van:

a) ha x<y, akkor valódi tört.

b) ha x>y, akkor áltört.

megjegyzés: ha x=y, akkor egész szám az eredmény.

2. A tört numerikus értéke lehet többféle:

a) Véges tizedestört, pl. 1/8=0.125

b) végtelen szakaszos tizedestört,

pl. 6/7=0.857142|857142|857142...

azaz amikor egy szakasz ismétlődik a tizedesvessző után.

De pl az 1/3=0.33333... is ilyen, csak ott a szakasz egy számjegyből áll.

c) transzcendens tizedestört (másnéven nemszakaszos végtelen tizedestört).

pl. a pi=3.141... is ilyen, mert a tizedesvessző után nem szabályszerűen ismétlődnek a számok. (ezért aztán fel sem lehet írni két egész szám hányadosaként, legfeljebb adott hibával, de ez más tészta).

És ezért a 2/pi is ide fog tartozni, ha numerikusan kiértékeled, az bizony egy transzcendens tizedestört lesz.

Remélem érthető, és jó összefoglalás.