Racionális számok komplementere az irracionális számok halmazán?

Egy X halmaz komplementerének értelmezéséhez kell egy A alaphalmaz, aminek X a részhalmaza.

> „Racionális számok komplementere az irracionális számok halmazán?”

Itt most a racionális számok halmaza nem része az irracionális számok halmazának, tehát ez nem értelmezhető szerintem.

> „Minden halmaz részhalmaza önmagának.”

Igen.

> „A racionális számok komplementere az irracionális számok..”

Ha az alaphalmaz a valós számok halmaza, akkor igen.

> „Q komplementer részhalmaza Q*?”

Mi az, hogy komplementer részhalmaz?

Tehát az én jelölésemmel X = {a racionális számok halmaza}, A = {az irracionális számok halmaza}, és kell X-nek a komplementere.

Szerintem mivel X nem részhalmaza A-nak, ezért ez nem értelmes, de ha mindenáron értelmezni akarjuk, akkor vegyük a metszetüket (ami részhalmaza lesz A-nak), és annak a komplementerét. Ez esetben a válasz a kérdésedre az IRRACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA lesz, azaz Q*.

(Csak hogy rávilágítsak a problémára, egy másik kérdés: mi az osztálytársaid halmazának komplementere a valós számok mint alaphalmaz felett?)

A „minden áron értelmezzük” esetben:

> „De akkor (X komplementer) részhalmaza A-nak?”

Igen.

> „Vagy (X komplementer) nem egyenlő A-val?”

De.

A másik esetben X komplementer nem is létezik, így erre a két kérdésre is az a válasz, hogy értelmetlen.

Ha az alaphalmaz az irracionális számok halmaza, akkor nincs.

Ha az alaphalmaz a valós számok halmaza, akkor van. Akkor is, ha az alaphalmaz a racionális számok halmaza.

2 dolgot kell megérteni; legyen a halmazunk A, a komplementere pedig (A):

1.: két halmaz csak akkor lehet egymás komplementere, hogyha nincs közös elemük, matematikailag leírva:

A metszet (A) = üres halmaz

Mivel nincs olyan szám, amely egyszerre lenne racionális és irracionális, ezért ez a feltétel teljesül.

2.: Minden nem üres halmaz felbontható egy halmaz és annak komplementerére; hogyha az alaphalmazunk U, és A U-nak részhalmaza, akkor

A unió (A) = U

Tudjuk, hogy A=Q és a feltétel szerint (A)=Q*, vagyis

Q unió Q*

halmazt kapjuk, erről az egyesítésről pedig tudjuk, hogy a valós számok halmazát adják ki, tehát:

Q unió Q* = R

Ez azt jelenti, hogy ha a valós számok halmaza az alaphalmaz, akkor igaz, hogy Q komplementere Q*. Ha például az alaphalmaz a komplex számok halmaza lenne, akkor már nem érvényesülne, mivel akkor (A)-ban benne lenne például az i "szám" is, ami ugye nem irracionális.

Érdekesség, hogy a racionális számok halmazán belül bármilyen intervallumot vehetünk, az is jó alaphalmaz lesz; például ha az alaphalmaz a [0;1] intervallum, akkor Q-nak komplementere [0;1]\Q lesz, viszont ez a halmaz csak irracionális számokat tartalmaz, tehát =Q* így itt is igaz lesz.

Összegzés: megfelelő alaphalmaz mellett mondhatjuk csak, hogy a racionális számok halmazának a komplementere az irracionális számok halmaza (és fordítva).