Racionális számok összege hogy lehet irracionális?

Ha hihetetlennek tűnik, csinálj ilyet te magad. Ahhoz, hogy egy szám irracionális legyen, csak annyit kell garantálnod, hogy a tizedestört alakja ne legyen szakaszos. Ezt nem nagy kunszt megcsinálni racionális számokból, ha végtelen sokat használhatsz:

Pl. 0,1001000010000001... azaz növekvő számú nulla az egymást követő egyesek között. Ez nyilván nem szakaszos tizedestört, így irracionális. És a képzése mégis nagyon egyszerű, racionális számok végtelen összege:

szumma(1/10^n²)

Fordítsuk vissza, szerintem ez alapján bizonyítható is, hogy bármely irracionális szám felírható végtelen darab racionális szám összegeként.

Elég logikus, ha felírod a végtelen tizedes törtet, akkor minden számjegye egy tört, minden egyes tört egy rac.szám.

3,14... = 3/1 + 1/10 + 4/100 +....

Hát azért nem feltétlenül, vagy rosszul fogalmaztam.

Kell egy n-től függő törtnevező.

A tizedestörtnél ez tulajdonképpen 10^n.

Racionális számok összege racionális! Ez elemi matematikai szabály.

A kérdésben szereplő példa azonban egy másik helyzet.

Végtelen sok racionális szám összegének határértéke már lehet irracionális! Végtelen sok számot nem lehet ténylegesen összeadni. Lehet bizonyos szabályokat vizsgálni, és azok alapján a határértéket meghatározni.

Ha valaki ezt nem érti (mármint a végtelen sok szám összegét), az egy másik problémakör, a nem értés mögött a végtelen fogalmának nem értését kell keresni. A végtelen fogalma nem magától értetődő, kell hozzá bizonyos absztrakciós képesség. De ez már egy másik történet.

"Végtelen sok racionális szám összegének határértéke már lehet irracionális!"

A mindent megmagyarázó mondat.

Maga a határérték nem kell, hogy része legyen a halmaznak. Ettől még a halmaznak minden eleme lehet racionális, miközben a határérték nem az.