Melyek a matematika legelvontabb, legbonyolultabb, "legfuturisztikusabb" témakörei? Magyarországon vannak helyek, ahol ezeket tanulni lehet?

Most röhögni fogsz de a prímszámok. Még mindig szinte semmit nem tudunk, sok mindent sejtünk de tudni semmit nem tudunk. Minden páros szám felírható két prímszám összegeként, nem elvont, nem bonyolult, de egyelőre ötletünk sincs hogy bizonyítsuk be. Valószinűleg iszonyú bonyolult lesz. Természetesen a Riemann-sejtés is ide tartozik, aki azt megfejti annak a neve Euklidész és Euler mellé kerül a történelemkönyvekben. (Sok szerencsét.)

Foglalkozhatsz bonyolultságelmélettel, ha bebizonyítod hogy P=NP vagy hogy P!=NP akkor gazdag leszel és híres.

Mikor műveleteket végzel számokkal, azt úgy hívjuk, hogy aritmetika. Az algebrát inkább akkor használjuk, mikor egy absztrakt struktúra tulajdonságait vizsgálod (pl. középiskolás anyagban a polinomok összeadása-szorzása, nevezetes azonosságok).

Sok konkrét struktúrának nagyon jól ismerjük az aritmetikáját, ezek már nem kutatás tárgyai (pl. valós vagy komplex számok). De ettől még lépten-nyomon használjuk kutatás közben is, hiszen bármikor előfordulhat, hogy össze kell szoroznunk két valós számot vagy meg kell oldanunk egy egyenletet.

Az abstract nonsense helyett inkább a kategóriaelmélet szócikket olvasd, abból az is kiderül, hogy miről van szó, nem csak az, hogy ez a valami nagyon absztrakt.

A fent idézett sejtés pontosan: Minden 3-nál nagyobb egész szám felírható két prímszám összegeként. (Ha érdekel, Goldbach-sejtésként nézz utána.) A gyengébb formáját, miszerint minden 5-nél nagyobb páratlan szám felírható 3 prím összegeként, tavalyelőtt bizonyították.

Ebben elsősorban nem maga az állítás a fontos, hanem az a matematikai eszköztár, ami megszületik a bizonyítása során.

A probléma itt nem az, hogy mit csináljunk, ha hozzánkvág valaki egy darab papíron egy számot és nekünk el kell döntenünk, hogy felbontható-e az adott módon, különben fejünket veszik. Azt akarjuk tudni, hogy igaz-e az állítás. A matematika általában nem az emberiség javával foglalkozik, hanem állítások igazságtartalmával. Ha megnézed néhány esetre és nem találsz ellentmondást, az az égvilágon semmit nem mond arról, hogy igaz-e. Ott vagy, ahol a part szakad.