Hogyan kell kiszámolni egy másodfokú egyenlet szélsőértékét ábrázolás nélkül? GYORST VÁLASZT HA LEHET!

Itt fogalmi zavarok vannak, azt hiszem...

2 megoldás adódik a problémára:

1. Teljes négyzetté alakítjuk, például:

3x^2+6x+9 /első körben emeljük ki a főegyütthatót:

3*(x^2+2x+3)

Így most csak az x^2+2x+3 kifejezést kell csak teljes négyzetté alakítanunk. Ezt a következőképpen számoljuk;

tudjuk, hogy (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (azonosság), azt kell kitalálnunk, hogy mi legyen az a és a b. A kifejezésünk első tagja x^2, ez csak akkor lehet, ha a zárójeles részben van x: (x+valami)^2. A valamit úgy kell meghatároznunk, hogy a kibontás után 2x kerüljön középre. Látható, hogy a zárójeles rész első tagja a, kibontás után viszont 2ab van, tehát b-t úgy kapjuk meg, ha osztunk 2*a-val, tehát a 2x-et el kell osztanunk 2x-szel: (2x)/(2x)=1, tehát a kifejezésünk:

(x+1)^2

Igen ám, de ha ezt kibontjuk, akkor a fenti képlet alapján, akkor x^2+2x+1-et kapunk, de nekünk x^2+2x+3-unk van, tehát még valamennyit hozzá kell adnunk ehhez, még hozzá 2-t, ezzel:

x^2+2x+3=(x+1)^2+2

Tehát az eredeti kifejezés átírva: =3*((x+1)^2+2)=3*(x+1)^2+6

Könnyen belátható, hogy 3*(x+1) értéke csak 0 lehet vagy pozitív, de mi a szélsőértéket keressük, tehát azt akarjuk, hogy ez 0 legyen, ez pedig x=-1 esetén fog teljesülni, és ott a függvény értéke (3*(-1+1)^2+6=6

Tehát ennek a függvénynek a szélsőértéke a (-1;6) pontban lesz. Ez pedig minimum lesz, mivel, mint már fentebb írtam, 3*(x+1)^2 értéke csak 0 vagy pozitív lehet, már ha pozitív, akkor pozitív+6>6, tehát tetszőleges x-re, ha x nem -1, a függvény értéke nagyobb lesz 6-nál.

(Ha a fő együttható pozitív, akkor mindig minimumot találunk, ha negatív, akkor maximumot, 0 definíció szerint nem lehet a fő együttható).

2. lehetőség (amit még esetleg tanítanak középszinten) az, amit már fentebb írtak; az biztos, hogy a szélsőérték egyenlő távolságra van a gyököktől, és ha ezeket a pontokat levetítíjük az x-tengelyre, akkor azt is láthatjuk, hogy pontosan x1 és x2 által meghatározott szakasz felezőpontjánál van. Ez azt jelenti, hogy az x=(x1+x2)/2 helyen találjuk a szélsőértéket, értékét pedig úgy kapjuk, ha behelyettesítjük az így kapott x-et a kifejezésbe.

Értelemszerűen, ha 2 gyök van, akkor összeadjuk őket és elosztjuk 2-vel, így kapjuk meg a szélsőérték x-helyét (amit beírunk, és megkapjuk az y-értékét), 1 gyök esetén maga a gyök lesz a hely (és értéke ekkor y=0 lesz), de ha nincs gyöke, akkor viszont bajban vagyunk, mert ha nincs gyök, akkor hogy a francba használhatnánk?

Ez csak látszólagosan baj, és bizonyos tekintetben ehhez már a komplex számok létezéséről kellene tudunk, de szerencsére ezt a "tudatlanságot" lefedi a Viéte-formula; ez kimondja, hogy ha csak a gyökök összegét (vagy szorzatát, de ez most nem kell nekünk) szeretnénk megadni, akkor azt az együtthatókból ki tudjuk számolni. A megoldóképlet alapján

x(1)=(-b+gyök())/(2a) (a belső gyökös részt direkt nem írom ki)

x(2)=(-b-gyök())/(2a)

Ha ezejket összeadjuk, akkor a gyökös rész kiesik, és marad:

x(1)+x(2)=(-2b)/(2a)=-b/a

A fenti módszert használva ezt még osztjuk 2-vel:

(x(1)+x(2))/2=-b/2a

Tehát, a fent megadott példa szélsőértékhelye -6/(2*3)=-1-nél van, ezt beírjuk a kifejezésbe:

3*(-1)^2+6*(-1)+9=3*1-6+9=3-6+9=6, tehát a (-1;6) pontban van a szélsőérték. Mivel a főegyüttható pozitív, ezért ez minimum lesz.

Ha ismerjük a Viéte-formulát, akkor nagyságrendekkel gyorsabban meg tudjuk határozni a szélsőértéket, mint a teljes négyzetté alakítással. Ez minden esetben használható, még akkor is, ha valójában nincs is gyök, mivel a komplex számok halmazán lenne megoldás, így az összegnek is van értelme (ami valós együtthatók esetén biztosan valós lesz, mint ahogyan azt a fenti levezetés is mutatja).

Egy harmadik lehetőség is van, amit már említettek, és ez a deriválás, viszont ez nem középszintű anyag, így ezt elég említés szintjén tudnod (vagy még úgy se).

Ha még ezek után kérdésed lenne, tedd fel bátran!

"Ez a megoldása - de ez semmit nem mond a szélsőértékről. "

Még hogy nem mond?????

A parabola tengelyesen szimmetrikus, következésképpen ha van pl. két gyökünk, mint itt, akkor tuti, hogy a szélsőértéke a kettő között félúton van. Ha felfelé nyíló parabola, akkor minimum, ha lefelé nyíló, akkor minimum!

Ha a ≠ 0, akkor az

a*x^2 + b*x + c

függvény szélsőértéke

c – b^2/(4*a).