Hogy lehet megállapítani egy függvényről, hogy folytonos, és differenciálható?
Pl. van egy adott f(x) függvényem. Akkor anélkül, hogy felrajzolnám/ábrázolnám a fv.-t, miket kell vele csinálnom, hogy rájöjjek folytonos-e, és hogy differenciálható-e? Esetleg egy nagyon egyszerű példában el tudnátok magyarázni?
Nagyon szépen köszönöm!
válasza:Például függvényanalízissel. A függvény egy művelet-végrehajtási utasítás. Elemzed az értelmezési tartományt, ahol nincs értelmezve, nem folytonos és nem deriválható. Felhasználod a derivált fogalmi jelentését, definícióját.
Az 1/x függvényről például tudjuk, hogy (mivel a nulla nem lehet osztó) a nullában nincs értelmezve.
A f(x): y=x, ha x>0 és y=-x, ha x<0 függvényről például látjuk, hogy a nullában törése van, azaz ott nem tudod a diffrencia-hányados határértékét meghatározni, tehát ott nem deriválható, viszont mindenütt folytonos.
válasza:Miért, hogy tudod "felrajzolással" eldönteni, hogy egy függvény folytonos, vagy differenciálható? Ha például egy folytonos függvényt ábrázolsz, akkor a folytonosság fogalmának egy intuitív értelmezését használod, tehát eleve feltételezed a a folytonosságot. (Például a f(x) x^2 függvényt azért rajzolod "folytonosra", mert feltételezed, hogy folytonos.)
Egyébként a kérdésedre a válasz: megvizsgálod a definíció teljesülését.
Tehát ha egy fv.-re nem tudunk kikötést írni, akkor az biztosan folytonos?
De még ezek után sem értem, hogy lehet eldönteni egy fv.-ről, hogy differenciálható-e. Gondolom van olyan fv, amelynek nincs szakadása, mégsem differenciálható, és van olyan fv, amelynek van szakadása, mégis differenciálható. Ezt hogyan tudjuk megállapítani az adott fv-en?
válasza:1, Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor ott folytonos is.
2, Van olyan függvény, amely mindenhol folytonos, de sehol sem differenciálható. Az egy pontban nem differenciálható folytonos függvényre a klasszikus példa az abszolútérték-függvény. Valójában az említett sehol sem differenciálható függvény is abszolútérték-függvényekből van "összerakva".
Szemléletesen egyébként az egy pontban való folytonosságot, de nem differenciálhatóságot úgy lehet elképzelni, hogy ott a függvény képe "csúcsos"- (Lásd megint az abszolútérték-függyvényt.)
"Szemléletesen egyébként az egy pontban való folytonosságot, de nem differenciálhatóságot úgy lehet elképzelni, hogy ott a függvény képe "csúcsos"-"
Sajnos nekem nem elképzelnem kéne, hanem megállapítani egy fv-ről (ábrázolás és miegymás nélkül), hogy differenciálható vagy sem. Na mármost te azt mondtad, hogy az abszolút érték fv nem differenciálható sehol sem. Legyen. De ezt valahogy matematikailag is kéne bizonyítani, hogy egyértelműen kimondhassuk. Na, én erre lennék kíváncsi, hogy pl egy olyan fv-ről mint az abszolút érték fv milyen matematikai módszerek segítségével lehet megállapítani, hogy differenciálható vagy sem.
válasza:Különbség van a pontbeli és globális folytonosság/differenciálhatóság között. Egy függvény folytonos/differenciálható, ha minden pontjában folytonos/differenciálható.
Az abszolútérték-függvény CSAK 0-ban nem differenciálható mivel:
lim(h->0+)(|0+h|-|0|)/h=h/h=1, de
lim(h->0-)(|0+h|-|0|)/h=-h/h=-1
Mint mondtam a definíciót kell használni.
Tehát akkor jól mondom?
Egy fv-t akkor lehet differenciálni egy X0 (ÉT-beli) pontban, ha ott folytonos, és van véges határértéke.
És egy fv-nek akkor van egy X0 (ÉT-beli) pontban (véges) határértéke, ha ott a jobb és baloldali határértéke egy véges szám, és azok megegyeznek.
Valamint egy fv folytonos az X0 (Ét-beli) pontban, ha nem írtunk rá kikötést, vagyis a kikötésünkben nem szerepel, hogy mondjuk X > 0 .
Szóljatok ha nem jó.
------
Amit még nem értek, hogy egy intervallumon hogy lehet megállapítani a differenciálhatóságát. Mert ugye differenciálható egy intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható, vagyis egyik pontjában sincs szakadása, és minden pontjában van véges határértéke. Na de a fv le van szűkítve egy adott intervallumra, szerintem itt nem jó megoldás a fv tetszőlegesen kicsiny környezetének vizsgálata. Vagy igen? Na most megkeveredtem.
válasza:A definíciókat különben jól átgondoltad?
"Egy fv-t akkor lehet differenciálni egy X0 (ÉT-beli) pontban, ha ott folytonos, és van véges határértéke."
A differenciálhányados az X0 pontban nem a függvény határértéke, hanem a (f(x)-f(x0))/(x-x0) sorozat határértéke, ahol x->x0 tetszőleges sorozat.
Abból hogy a függvénynek x0-ban létezik véges határértéke, még az sem következik, hogy ott folytonos. Például az egészrész-függvény az egész pontokban (balról) nem folytonos, mivel lim(x->x0)([x])=x0-1, de [x0]=x0.
Ez azért igaz, mert ha f folytonos xo-ban, akkor az ottani határértéke megegyezik f(x0)-al.
válasza:Kérdező, nem fog ez menni. Nem értetted meg a folytonosság és a differenciálhányados fogalmát. Feltehetően már a határértékkel is baj van. Elhiszem, hogy te meg vagy győződve arról, hogy érted, de a válaszaid azt tükrözik, hogy nem.
Na most, ha a tanáraid szemtől szembe ezt nem tudták veled megétetni, akkor így távolból mi még kevésbé. A definíciókat kellene megértened. Elsősorban a határértékét, mert ez alapvető a differenciálhányadosnál.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!