Hogy lehet megállapítani egy függvényről, hogy folytonos, és differenciálható?

Szia!

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak egy pontban ha igaz rá az, hogy, ha "elég közel" vagyunk a ponthoz, akkor az értékek is "elég közel" vannak a vizsgált pontbeli függvényértékhez mindkét oldalon. Így például az

{x} függvény egyetlen egész helyen sem folytonos, mivel ott elszakad. Az egyik "balról" ugyan "közel" vannak az értékek, de "jobbról" ez nem igaz, ugyanis ha balról közelítjük, akkor az értékek 1-hez közelednek, ha jobbról, akkor meg nullához.

Ha egy függvényről általában el akarjuk dönteni, hogy folytonos-e egy PONTBAN akkor a következőt célszerű csinálni: Vizsgáljuk meg a jobb és bal oldali határértékét az adott pontban, azaz ha az adott pont mondjuk "w", akkor számítsuk ki lim_x->w+0 f(x)-et és

lim_x->w-0 f(x) azaz a bal és jobb oldali határértékét a "w" pontban, ha ez a két érték nem egyezik meg, akkor biztosan nem folytonos itt. Ha megegyezik akkor még mindig nem biztos, hogy folytonos itt, ugyanis csak akkor folytonos, ha még az is teljesül, hogy

f(w) = lim_x->w f(x), azaz a kiszámított határérték pont a w-ben felvett függvényérték.

Ha INTERVALLUM-beli folytonosságot kell vizsgálni, akkor elsősorban a függvény értelmezési tartományát kell megvizsgálni, ha van olyan pont, ahol nincs értelmezve, ott nyilván folytonos sem lesz. Erre sajnos egzakt módszert nem ismerek, vagy algoritmust, de van néhány trükk aminek a segítségével eldönthető egy függvényről, hogy folytonos-e. Ezek a következők,

Legyenek f és g folytonos függvények, ekkor:

- f+g is folytonos

- f-g is folytonos

- f*g is folytonos

- f/g is folytonos, ha g nem 0 egy adott pontban (vagy intervallumban), ekkor ugyanis az f/g ott nem lesz értelmezve, tehát mint azt már említettem ott nem lesz folytonos.

-f o g is folytonos, ha f értelmezési tartománya része az g értékkészletének.

Jogos a kérdés, hogy ez eddig mire jó, de most jön a Dzsóker: Az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományukon(!!!), azaz a következők:

-A polinomfüggvények

-A racionális törtfüggvények

-A trigonometrikus függvények

-Az exponenciális és hatványfüggvények

-A hiperbolikus függvények

-A fent említett függvények inverzei

Tehát a fent említett függvénycsaládok függvényeit akárhogyan mixelgetjük összeadva, szorozva, komponálva az értelmezési tartományukon folytonosak lesznek.

Persze vannak extrém példák, nem minden ni, hogy hol folytonos és hol nem az, ha ez érdekel ajánlom a Dirichlet és a Riemann függvények vizsgálatát folytonosság szempontjából, de ezek extrém példák, amik nem is léteznek a valóságban, csak zseniális (vagy torz) elmék szüleményei.

A deriváláshoz

Egy függvény EGY "a" PONTBAN akkor differenciálható, ha a

lim_x->a (f(x)-f(a))/(x-a) határérték LÉTEZIK és VÉGES.

ez az (f(x)-f(a))/(x-a) valóban az "a" pontba húzott érintő egyenlete, de ez nem mindíg ilyen egyszerű, ha megnézzük a határértékes definíciót, amit fent leírtam, akkor ennek következménye az, hogy az |x| sajnos a 0-ban nem differenciálható, ennek az az oka, hogy ha

1.

jobbról közelítem a nulla pontot az x tengely mentén, akkor a limesz a következőket mutatja:

Ha jobbról közelítek az azt jelenti, hogy az x mindig nagyobb 0-nál.

azaz az

f(x)-f(a) = ["kicsi" pozitív szám abszolút értéke] - 0 f(x)-f(a)= ["kicsi" pozitív szám abszolút értéke]

a nevező a limeszben az x-a, azaz

[kicsi pozitív szám] - 0.

Az x volt a [kicsi pozitív szám]

Az f(x) volt a [kicsi pozitív szám abszolút értéke]

Nos látszik, hogy a limesz egy

pozitív szám / pozitív szám alakú, azaz pozitív.

2.

Ha balról közelítem a nullát, akkor a limeszben a számláló:

f(x)-f(a) = [kicsi NEGATÍV szám abszolút értéke] - 0

ez bizony egy pozitív szám.

x-a = [kicsi negatív szám] - 0 azaz ez bizony egy kicsi negatív szám.

De a negatív/pozitív = negatív

Mi történt?

Megmutattuk, hogy ha az x tengely mentén haladva jobbról közelítjük a 0-át akkor a határérték pozitív, ha balról, akkor negatív.

De ennek a két számnak ugyan annak kellene lennie, ha létezne a limesz, de sajnos nincs olyan szám, ami egyszerre pozitív és negatív, így ez a határérték nem létezik, tehát az abszolút érték függvény 0-ban nem deriválható.

Egy függvény-t akkor nevezünk differenciálhatónak egy intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható, tehát a problémát nemes egyszerűséggel visszavezettük a pontbeli deriváltra.

Ahhoz, hogy ezt meg tudd mutatni valamilyen függvény esetében érdemes arra törekedni, hogy eltüntessük a nevezőt a differencálhányadosból(A differencálhányados az (f(x)-f(a))/(x-a)). Ehhez jól jön néhány undorító összefüggés mint addíciós tételek és következményei, meg az, hogy az 1-et fel tudjuk úgy írni, hogy (-2)+1+1+1, szóval ilyesmik, ilyeneket találsz az interneten dögivel. Esetleg ha polinomfüggvényed van, akkor a polinomosztással próbálkozhatsz vagy kiemelhetsz a számlálóból f(x)-f(a)-t és így tovább ravaszkodás, trükközgetés vagy megerőszakolás.

Nagyon javaslom, hogy nézd át a határérték számítás alapjait, mert mindkét kérdésben határértékre vezettük vissza a problémát, pontosabban fogalmazva nem erre vezettük vissza, hanem ezek a problémák a határérték segítségével vannak definiálva.

Remélem nem írtam semmi hülyeséget.

Hűha ez nem is mai darab...

bocs